Замена переменных в двойном интеграле

Расмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от j₁(x) до j₂(х).

Положим х = f(u, v); y = j(u, v)

Тогда

dx = ; dy = ; (8.28)

(8.29)

т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0.

, т.е.

(8.30)

подставляя (8.30) в (8.28) получаем:

(8.31)

Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций f(u, v) и j(u, v).

(Якоби Карл Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик)

Тогда

(8.31)

Т.к. при первом интегрировании приведенное (8.28) принимает вид (при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:

(8.32)