Вычисление двойного интеграла. Теорема 8.4. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b

Теорема 8.4. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и

j £ y, тогда

(8.26)

y y = y(x)

D

y = j(x) рис.8.4

a b x

Пример 8.6. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями: y = 0, y = x², x = 2.

Решение. y

4

D

0 2 x

рис.8.5.

=

=

Теорема 8.5. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то

(8.27)

Пример 8.7. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

Решение. Строим область D (рис.8.6).

y

y = x

D

0 x

рис.8.6

Пример 8.8. Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у², у = 2.

Решение.

=

=

Пример 8.9. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху =1, у = , х = 2.

Решение. Область интегрирования изображена на рис.8.7.

рис.8.7

1.

2.

3.