Производная по направлению. Градиент

Определение 8.12. Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке М, имеющий своими координатами значения частных производных функции z в точке М, т. е.

.

(8.15)

Для обозначения градиента часто используют символ . Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке.

Определение 8.13. Производной функции в точке в направлении вектора называется

.

(8.16)

Если функция дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле

,

(8.17)

где a - угол между вектором и осью О_х.

Пользуясь определением градиента, формулу (7.17) для производной по направлению можно представить в виде скалярного произведения:

(8.18)

где вектор - орт вектора .

Т. е. производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления.

Производная в направлении градиента имеет наибольшее значение равное

.

(8.19)

Пример 8.4. Дана функция z = x ² e ^y, точка и вектор .

Найти: 1) градиент в точке A;

2) производную в точке A по направлению вектора .

Решение.

1. Найдем частные производные функции z:

,

и вычислим их значения в точке А:

, .

Следовательно, .

2. Найдем производную по направлению:

.

Ответ: 1) ,

2) .