Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных

Пусть определена на области D. Будем считать аргумент y постоянным и рассмотрим получающуюся при этом функцию одной переменной x. Придадим переменной x приращение . Приращение вызовет приращение функции .

Определение 8.5. Конечный предел (если он существует), отношения приращения функции к приращению аргумента , при , называется частной производной по x и обозначается , т. е.

.

(8.1)

Если считать аргумент х постоянным и рассматривать функцию z = f(x, y) как функцию одной переменной у, то приращение вызовет приращение функции .

Определение 8.6. Конечный предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при называется частной производной по y и обозначается , т. е.

.

(8.2)

Для обозначения частных производных также используют символы:

.

Определение 8.7. Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

;

;

;

.

(8.3)

Причем , если производные непрерывны. Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Полным приращением функции в точке называется величина .

Определение 8.8. Полным дифференциалом функции называется величина, вычисляемая по формуле:

(8.4)

Пример 8.1. Найти полный дифференциал функции .

Решение. По формуле (8.4) находим: