Билет №13. Геометрический анализ исполнительных механизмов промышленных роботов

Пространственный механизм со структурой «дерева».

О _sx_sy_sz_s – связана со звеном s, О _s-1x_s-1y_s-1z_s-1 – связана со звеном s-1

Таблица косинусов

Таблица 2.1

	xs	ys	zs
xs- 1	cos(xs- 1 ,xs)	cos(xs- 1 ,ys)	cos(xs- 1 ,zs)
ys- 1	cos(ys- 1 ,xs)	cos(ys- 1 ,ys)	cos(ys- 1 ,zs)
zs- 1	cos(zs- 1 ,xs)	cos(zs- 1 ,ys)	cos(zs- 1 ,zs)

Обычно для краткости эти косинусы обозначают буквами a (табл. 2.2):

Таблица 2.2

	xs	ys	zs
xs-1	a11	a12	a13
ys-1	a21	a22	a23
zs-1	a31	a32	a33

· Сумма квадратов косинусов в каждой строке равна единице, т.е.

a²₁₁ + a²₁₂ + a²₁₃ = 1;

a²₂₁ + a²₂₂ + a²₂₃ = 1;

a²₃₁ + a²₃₂ + a²₃₃ = 1;

· Сумма попарных произведений равна 0, т.е.

a₁₁ a₂₁+ a₁₂a₂₂ + a₁₃a₂₃ = 0;

a₂₁ a₃₁+ a₂₂a₃₂ + a₂₃a₃₃ = 0;

a₁₁ a₃₁+ a₁₂a₃₂ + a₁₃a₃₃ = 0.

Матрицанаправляющих косинусов А_{s- 1, s}

. (2.39)

А_{s- 1, s+ 1} = А_{s- 1, s} А_{s,s+ 1.} (2.40)

. (2.41)

Вектор в (s –1)-й системе координат: . (2.42)

Вектор в s -й системе координат: . (2.43)

Вектор в (s –1)-й системе координат: . (2.44)

Выражение (2.41) в проекциях на оси (s –1)-й системы координат:

. (2.45)

Четырехмерные векторы-столбцы координат:

, . (2.46)

Блочные матрицы 4х4 (матрицамиперехода от s -й системы координат к (s –1)-й системе):

. (2.47)

Вместо

. (2.45)

записываем

(2.48)

Перемножая последовательно матрицы перехода, можно дойти до неподвижной системы координат:

. (2.49)

– вектор-столбец координат точки М в системе, связанной со звеном n,

– вектор-столбец координат точки М в неподвижной системе.

Билет №14. Матрица преобразования координат (матрица перехода) для вращательной КП. Пример.

1. Матрицаперехода во вращательной кинематической паре.

q_s – угол поворота s -го звена относительно (s –1)-го.

O z _s совпадает с осью вращения во вращательной КП.

O _s^*х_s^*у_s^*z_s^* – начальное положение O _sх_sу_sz_s (при q_s =0).

Матрица направляющих косинусов А_{s- 1, s}:

. (2.50)

Матрица А_{s- 1, s*} (0) является постоянной.

Составим таблицу направляющих косинусов для A_s*,s (q_s).

Таблица 2.3

	xs	ys	zs
xs*	cos(qs)	cos(qs +p/2)	cos(p/2)
ys*	cos(3p/2+ qs)	cos(qs)	cos(p/2)
zs*	cos(p/2)	cos(p/2)	cos(0)

Тогда матрица А_s*,s (q_s) равна:

. (2.51)

Матрица P_z (q_s) называется матрицей поворота.

Матрица перехода во вращательной кинематической паре:

. (2.52)