Билет №10. Решение уравнений геометрического анализа для одноподвижных и многоподвижных механизмов методом Ньютона

Решение групповых уравнений на ЭВМ

Пусть одно решение групповых уравнений механизма уже получено.

Координаты, соответствующие этому положению, обозначим знаком (*): q ₁= q _1*, q ₂= q _2*, q ₃= q _3*, j₂=j_2*, j₃=j_3*.

Дадим малые приращения входных координат D q ₁, D q ₂, D q ₃.

Получим новые значения входных координат: q ₁= q _1*+D q ₁, q ₂= q _2*+D q ₂, q ₃= q _3*+D q ₃.

Тогда решение j₂ и j₃ будет единственным, поскольку второе положение механизма, соответствующее тем же приращениям координат q ₁, q ₂ и q ₃, окажется далеким от исходного положения механизма.

Определим малые приращения Dj₂ и Dj₃ из групповых уравнений:

При этом предположим, что приращения D х_А, D у_А, D х_D, D у_D уже получены решением групповых уравнений групп I и II
.

Или в обобщенной форме: , (2.11)

где – векторы-столбцы:

При этом ;

. (2.12)

Мы ищем решение векторного уравнения

(2.13)

МетодНьютона или метод касательных. В соответствии с этим методом (k +1)-е приближение для связывается с k -м приближенным соотношением k = 1, 2, Доказано, что в достаточно малой окрестности исходного решения последовательность (2.14) сходится, причем обеспечивается квадратичная сходимость. Выражение .

представляет собой матрицу Якоби для системы (2.11).

Для рассмотренных групповых уравнений

;

. (2.12)

. (2.15)

Определитель этой матрицы (якобиан) определяется выражением

. (2.16)

На рис. 2.8 дана условная геометри­ческая интерпретация метода Ньютона, относящаяся к случаю, когда векторы и – одномерные.

Для того, чтобы избежать многократного вычисления матрицы , обратной матрице Якоби, можно пользоваться модифицированным методомНьютона (методом секущих), при котором используется процедура, соответствующая формуле

k = 1, 2, …. (2.17)

где .

Положение механизма, близкое к исходному, не может быть получено описанным выше способом, если определитель матрицы Якоби обращается в ноль. Это – особое (сингулярное) положение группы АВСD.

Рис.

Пример с ползунно-кривошипным механизмом.

Вход q º x_B.

В механизме две структурные группы:

- однозвенная одноподвижная (ползун 3)

- двухзвенная группа Ассура типа ВВВ (звенья 1 и 2).

Такой механизм при одном значении q может принимать две различные конфигурации: ОА ₁ В и ОА ₂ В, причем без разборки механизма.

Составим выражения для F:

,

где . Матрица Якоби:

.

Определитель матрицы Якоби (якобиан):

.

Отсюда видно, что якобиан обращается в 0 тогда, когда все три шарнира находятся на одной прямой (sin(j₂ – j₁) = 0 – особое положение группы ВВВ).

Найдем обратную матрицу:

Тогда где , , k = 0,1,2, …. В особом положении (т.е. при sin(j₂ – j₁) = 0) данный метод не работает.

а) б) в)