П.2.5. Жесткостные характеристики межузловых связей в упругой системе, симметричной относительно начала базовой системы координат

Рассмотрим случай упругой системы, симметричной относительно точки начала координат глобальной координатной системы (рис.П.2.4).

Рис.П.2.4. Упорядоченная система узлов и межузловых связей,

симметричная относительно начала базовой системы координат.

Согласно применяемой методике расположенная между узлами и (рис.П.2.4) первая межузловая связь из пары упругих связей, размещенных симметрично относительно начала координатной системы , будет характеризоваться матрицей жесткости , имеющей вид, аналогичный матрице жесткости , описываемой выражением (П.2.2):

. (П.2.18)

Матрица жесткости второй межузловой связи, расположенной между узлами и (рис.П.2.4), определяется из равенства (П.2.3) с последующим преобразовываем ее к виду, соответствующему уравнению равновесия (П.2.1).

В результате получаем матрицу жесткости , описывающую вторую межузловую связь из пары упругих связей, расположенных симметрично относительно начала базовой системе координат :

. (П.2.19)

Для оценки свойств одиночной межузловой связи, расположенной между узлами и , симметрично относительно точки , определим структуру ее матрицы жесткости . При этом заметим, что рассматриваемую одиночную межузловую связь всегда можно представить в виде “последовательного” соединения пары межузловых упругих связей, размещенных между узлами и , а также и симметрично точки (рис.П.2.4).

Тогда, очевидно, что структура матрицы будет аналогична структуре матрицы , описывающей жесткостные характеристики упругой связи, представляющей собой “последовательное” соединение симметричной пары межузловых упругих связей, расположенных между узлами и , а также между узлами и . В этом случае матрица жесткости может быть рассчитана по следующей формуле:

. (П.2.20)

Тогда, подставляя в формулу (П.2.20) значения матриц жесткости и , полученные в соответствии с выражениями (П.2.2), (П.2.18) и (П.2.19), можем определить структуру матрицы .

Как показывает анализ, если в “последовательном” соединении пары межузловых связей, симметричных относительно точки , упругие связи, расположенные между узлами и , а также и , описываются симметричными матрицами жесткости (, а также ), то матрица жесткости , одиночной упругой связи, расположенной между узлами и симметрично начала координат, будет иметь следующий структуру:

. (П.2.21)

Анализ структуры матрицы жесткости (П.2.21) симметричной одиночной межузловой связи показывает, что симметрия относительно начала базовой системы координат может устранять перекрестные связи между линейными и угловыми перемещениями.