Формула Чебышева для расчета количества степеней свободы плоских жестких конструкций

W=3D-2T-C₀ - универсальная формула, предназначенная для расчета рам и ферм.

W –количество степеней свободы;

D – количество дисков;

T – количество простых шарниров;

С₀ - количество опорных стержней;

Формула, предназначенная только для ферм:

W=2У-С-C₀

У – количество шарнирных узлов;

С – количество стержней;

С₀ - количество опорных стержней;

С помощью формулы Чебышева выполняется кинематический анализ конструкции.

Если - конструкция геометрически изменяема;

- необходимое (но не достаточное) условие геометрической неизменяемости конструкции.

Пример:

W = 3D-2T-C₀

D = 3

T = 2

C₀ = 6, W = -1

Очевидно, что в данном случае имеем геометрически изменяемую конструкцию, однако согласно формуле – конструкция геометрически неизменяемая. Чтобы не было противоречия, проводится анализ геометрической структуры конструкции.

Для проверки правильности соединения дисков проводится анализ геометрической структуры конструкции, при этом правильным соединением дисков будем называть соединение с минимальным количеством связей необходимых для геометрической неизменяемости конструкции.

Основные способы образования геометрически неизменяемых конструкций:

1)

Шарнир «С» будет образовывать геометрически неизменяемую конструкцию, если оси этих стержней не лежат на одной прямой.

2)

Два диска, соединенные с помощью 3-х непараллельных стержней, образуют геометрически неизменяемую конструкцию в том случае, если эти непараллельные стержни не пересекаются в одной точке.

3)

Два диска, соединенные с помощью шарнира и стержня, образуют геометрически неизменяемую конструкцию, если шарнир С не лежит на прямой АВ.

4)

- Три диска, соединенные с помощью 3-х шарниров, образуют геометрически неизменяемую конструкцию, если шарниры А,В и С не лежат на одной прямой.

5)

- Три диска, соединенные попарно непараллельными стержнями, образуют геометрически неизменяемую конструкцию, если точки пересечения этих стержней не лежат на одной прямой.

Пример:

D = 3

T = 2,

C₀ = 5, W = 3D-2T-C₀= 0.

Диск КЕ соединен с диском АС и основанием при помощи двух стержней, поэтому в данном случае имеем геометрически изменяемую конструкцию, хотя по формуле Чебышева выполняется необходимое условие геометрической неизменяемости конструкции.

Это был пример проверки на геометрическую неизменяемость конструкции – кинематическим методом.

Существует статический метод, который заключается в определении реакций опор или усилий в сечениях, и если при расчете получаются противоречивые результаты, то значит конструкция геометрически изменяемая.

Пример 1:

D = 2;T = 1, C₀ = 4; W = 3D-2T-C₀= 0

М_A = R_BYL – F*a = 0

M_C = R_BYb + R_BXd = 0

R_{BY =} F*a / L _, R_BX = – b R_BY/d.

Значит конструкция геометрически неизменяемая.

Пример 2:

; ;

; .

Получаем противоречивые результаты, поэтому система геометрически изменяема. Этот вывод можно доказать кинематическим методом.

Лекция 14