П.2.4. Жесткостные характеристики межузловых связей в упругой системе, симметричной относительно координатных плоскостей базовой системы координат

Рассмотрим случай упругой системы, симметричной относительно плоскости глобальной координатной системы (рис.П.2.3).

Рис.П.2.3. Упорядоченная система узлов и межузловых связей,

симметричная относительно координатной плоскости .

В соответствии с выбранной методикой первая межузловая связь из симметричной пары упругих связей, расположенная между узлами и (рис.П.2.3), будет характеризоваться матрицей жесткости , имеющей вид, аналогичный матрице жесткости , описываемой выражением (П.2.2):

. (П.2.12)

Матрицу жесткости второй межузловой связи, расположенной между узлами и (рис.П.2.3), находим из равенства (П.2.3) и в дальнейшем преобразовывая ее к виду, соответствующему уравнению равновесия (П.2.1). В результате получаем матрицу жесткости , описывающего вторую межузловую связь из рассматриваемой симметричной пары упругих связей в базовой системе координат :

. (П.2.13)

Свойства одиночной межузловой связи, симметричной относительно координатной плоскости , будет характеризовать структура ее матрицы жесткости . При этом структура матрицы будет аналогичной структуре матрицы . В свою очередь отметим, что симметричную относительно координатной плоскости одиночную межузловую связь всегда можно представить виде “параллельного” соединения эквивалентной пары межузловых упругих связей, обладающей симметрией такого же вида.

В случае “параллельного” соединения пары межузловых связей расчетная формула матрицы жесткости будет имеет следующий вид:

. (П.2.14)

Структуру матрицы определяем, подставляя в формулу (П.2.14) выражения (П.2.2), (П.2.12) и (П.2.13) матриц жесткости и . Таким образом, матрица жесткости , описывающая жесткостные характеристики одиночной упругой связи, симметричной относительно координатной плоскости , будет иметь следующий структурный вид:

. (П.2.15)

Определим матрицы жесткости характерных элементов упругих систем, симметричных относительно координатных плоскостей и , выполняя соответствующие процедуры, аналогично рассмотренному случаю упругой системы, симметричной относительно координатной плоскости .

В результате расчета жесткостных характеристик межузловых связей упругой системы, симметричной относительно координатной плоскости , проводимого в предположении, что матрица жесткости первой межузловой связи () описывается выражением (П.2.2), получим следующее выражение для матрицы жесткости , характеризующей вторую межузловую связь из симметричной пары упругих связей:

.

При этом матрица жесткости , описывающая одиночную упругую связь, симметричную относительно координатной плоскости , будет иметь следующую структуру:

. (П.2.16)

В свою очередь, рассматривая характерные элементы упругой системы, симметричной относительно координатной плоскости , и учитывая, что согласно выбранной методики расчета матрица жесткости первой межузловой связи из симметричной пары упругих элементов описывается выражением (П.2.2), получаем следующее выражение для матрицы жесткости , описывающей вторую межузловую связь рассматриваемой симметричной системы:

.

При этом структура матрицы жесткости , характеризующая одиночную упругую связь, симметричную относительно координатной плоскости , будет иметь следующий вид:

. (П.2.17)

Анализ структуры матриц жесткости симметричных одиночных межузловых связей, описываемых выражениями (П.2.15)–(П.2.17), показывает, что симметрия относительно координатной плоскости базовой системы координат устраняет перекрестные связи между перемещениями, лежащими в плоскости симметрии, и перемещениями, происходящими вне плоскости симметрии.