П.2.3. Жесткостные характеристики межузловых связей в упругой системе, симметричной относительно осей базовой системы координат

Сначала рассмотрим случай упругой системы, симметричной относительно координатной оси (рис.П.2.2).

Рис.П.2.2. Упорядоченная система узлов и межузловых связей,

симметричная относительно оси .

Согласно выбранной методике первая межузловая связь из симметричной пары упругих связей, расположенная между узлами и , будет характеризоваться матрицей жесткости , имеющей вид, аналогичный матрице жесткости , описываемой выражением (П.2.2):

. (П.2.6)

Матрицу жесткости второй межузловой связи, расположенной между узлами и , находим из равенства (П.2.3) и в дальнейшем преобразовываем ее к виду, соответствующему уравнению равновесия (П.2.1). В результате получаем матрицу жесткости , описывающего вторую межузловую связь из симметричной пары упругих связей в базовой системе координат :

. (П.2.7)

Для оценки свойств одиночной межузловой связи, симметричной относительно оси , необходимо определить структуру ее матрицы жесткости .

Структура матрицы будет аналогичной структуре матрицы . При этом отметим, что симметричную относительно оси одиночную межузловую связь можно представить виде “параллельного” соединения эквивалентной пары межузловых упругих связей, обладающей такой же осевой симметрией.

В случае “параллельного” соединения пары межузловых связей расчетная формула матрицы жесткости будет имеет следующий вид:

. (П.2.8)

Для определения структуры матрицы подставим в формулу (П.2.8) выражения (П.2.2), (П.2.6) и (П.2.7) матриц жесткости и . Таким образом, матрица жесткости , описывающая жесткостные характеристики одиночной упругой связи, симметричной относительно оси , будет иметь следующий структурный вид:

. (П.2.9)

Определим матрицы жесткости характерных элементов упругих систем, симметричных относительно осей и глобальной системы координат, выполняя соответствующие процедуры, аналогично ранее рассмотренному случаю упругой системы, симметричной относительно координатной оси .

В результате расчета жесткостных характеристик межузловых связей упругой системы, симметричной относительно оси , проводимого в предположении, что матрица жесткости первой межузловой связи () описывается выражением (П.2.2), получим следующее выражение для матрицы жесткости , характеризующей вторую межузловую связь из симметричной пары упругих элементов:

.

При этом матрица жесткости , описывающая одиночную упругую связь, симметричную относительно координатной оси , будет иметь следующую структуру:

. (П.2.10)

В свою очередь, рассматривая характерные элементы упругой системы, симметричной относительно координатной оси , и учитывая, что согласно выбранной методики расчета матрица жесткости первой межузловой связи из симметричной пары упругих элементов описывается выражением (П.2.2), получаем следующее выражение для матрицы жесткости , описывающей вторую межузловую связь рассматриваемой симметричной системы:

.

При этом структура матрицы жесткости , характеризующая одиночную упругую связь, симметричную относительно оси базовой системы координат, будет иметь следующий вид:

. (П.2.11)

Анализ структуры матриц жесткости симметричных одиночных межузловых связей, описываемых выражениями (П.2.9)–(П.2.11), показывает, что симметрия относительно осей базовой системы координат, сохраняя перекрестные связи между линейными и угловыми перемещениями в направлении осей симметрии, устраняет перекрестные связи между этими перемещениями и всеми другими компонентами вектора обобщенного перемещения.