Площа трикутника

Виведемо формулу для обчислення площі трикутника , заданого координатами вершин , , в прямокутних декартових координатах. Будемо розглядати орієнтований трикутник, порядок вершин якого йде проти руху стрілки годинника (рис. 2.36).

Використаємо формулу площі трикутника у вигляді

(6)

де - орієнтований кут .

Введемо вектори , напрямлені вздовж сторін трикутника, де

Тоді формула (6) набуде вигляду

де .

Оскільки , , ,

то з формули (7) дістанемо

.

або в координатах вершин трикутника:

(8)

Приклад. Обчислити площу трикутника , якщо відомі координати його вершин

Розв’язання

Використаємо формулу (8):

Відповідь: .

§10. Поняття про алгебраїчну лінію

Означення 10.1. Лінія на площині називається алгебраїчною, якщо в якій-небудь афінній системі координат рівняння цієї лінії можна подати у вигляді

, (1)

де – многочлен від змінних . Степінь многочлена називається порядком лінії, що визначається рівнянням (1).

Очевидно, що поняття алгебраїчної лінії і її порядок не залежать від вибору афінної системи координат.

Приклади. Лінія, задана рівнянням х +3 у -5=0 – алгебраїчна лінія 1-го порядку; – алгебраїчна лінія 2-го порядку; – алгебраїчна лінія 3-го порядку; (коло) – алгебраїчна лінія 2-го порядку; – не є алгебраїчною лінією.

В аналітичній геометрії вивчають лише алгебраїчні лінії 1-го і 2-го порядку.

§11. Рівняння лінії в параметричній формі

Нехай деяка точка М рухається на площині (рис. 2.37). В результаті цього руху вона описує деяку лінію, яка є траєкторією даної точки. Тоді координати х, у цієї точки будуть змінюватися із зміною часу t і, отже, будуть деякими функціями t:

(1)

Такі рівняння називаються параметричними рівняннями лінії.

У ролі параметра t не обов’язково має бути час. Це може бути будь-який інший параметр, який однозначно визначає положення точки на лінії.

Приклад 1. Скласти параметричні рівняння кола.

Розв’язання

Нехай центр кола лежить у початку деякої прямокутної декартової системи координат (рис. 2.38).

Виберемо за параметр t кут повороту радіус-вектора точки кола . Тоді

(2)

.

Маючи параметричні рівняння лінії, можна одержати рівняння виду

(3)

Для цього із системи (1) слід виключити параметр t. Наприклад, піднісши обидві частини рівняння (2) до квадрата і додавши, отримаємо:

.

Рівняння лінії (3) називається рівнянням лінії в неявній формі. Якщо з цього рівняння можна виразити у через х або х через у, отримаємо рівняння лінії в явній формі: або .

У цьому випадку легко дістати параметричне задання лінії, взявши за параметр х або у відповідно. Наприклад, якщо лінія задана рівнянням , то параметричні рівняння матимуть вигляд:

Приклад 2. Записати в параметричній формі рівняння лінії .

Розв’язання

Виразимо у через х: .

Параметричні рівняння можна записати так:

Зауважимо, що рівняння

також є параметричними рівняннями цієї лінії.

§12. Рівняння лінії в полярній системі координат

Часто рівняння лінії в полярній системі координат має значно простіший вигляд, ніж у декартових координатах, і його легше досліджувати.

Приклад 1. Скласти рівняння кола в полярних координатах.

Розв’язання

Розмістимо центр кола в полярному полюсі (рис. 2.39); - рівняння кола.

Приклад 2. Відрізок сталої довжини 2 а рухається так, що його кінці знаходяться на двох взаємно перпендикулярних прямих. Знайти геометричне місце основ перпендикулярів, опущених на цей відрізок з вершини прямого кута.

Розв’язання

Приймемо точку перетину прямих за полярний полюс, а одну із сторін – за полярну вісь (рис. 2.40).

З ;

з .

Тоді . Щоб побудувати цю лінію, знайдемо точки, які задовольняють дане рівняння:

						- а		а		-а

Утворена лінія називається чотирипелюстко­вою трояндою (рис. 2.41).