![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Виведемо формулу для обчислення площі трикутника
, заданого координатами вершин
,
,
в прямокутних декартових координатах. Будемо розглядати орієнтований трикутник, порядок вершин якого йде проти руху стрілки годинника (рис. 2.36).
Використаємо формулу площі трикутника у вигляді
(6)
де - орієнтований кут
.
Введемо вектори , напрямлені вздовж сторін трикутника, де
Тоді формула (6) набуде вигляду
де .
Оскільки ,
,
,
то з формули (7) дістанемо
.
або в координатах вершин трикутника:
(8)
Приклад. Обчислити площу трикутника , якщо відомі координати його вершин
Розв’язання
Використаємо формулу (8):
Відповідь: .
§10. Поняття про алгебраїчну лінію
Означення 10.1. Лінія на площині називається алгебраїчною, якщо в якій-небудь афінній системі координат рівняння цієї лінії можна подати у вигляді
, (1)
де – многочлен від змінних
. Степінь многочлена
називається порядком лінії, що визначається рівнянням (1).
Очевидно, що поняття алгебраїчної лінії і її порядок не залежать від вибору афінної системи координат.
Приклади. Лінія, задана рівнянням х +3 у -5=0 – алгебраїчна лінія 1-го порядку; – алгебраїчна лінія 2-го порядку;
– алгебраїчна лінія 3-го порядку;
(коло) – алгебраїчна лінія 2-го порядку;
– не є алгебраїчною лінією.
В аналітичній геометрії вивчають лише алгебраїчні лінії 1-го і 2-го порядку.
§11. Рівняння лінії в параметричній формі
Нехай деяка точка М рухається на площині (рис. 2.37). В результаті цього руху вона описує деяку лінію, яка є траєкторією даної точки. Тоді координати х, у цієї точки будуть змінюватися із зміною часу t і, отже, будуть деякими функціями t:
(1)
Такі рівняння називаються параметричними рівняннями лінії.
У ролі параметра t не обов’язково має бути час. Це може бути будь-який інший параметр, який однозначно визначає положення точки на лінії.
Приклад 1. Скласти параметричні рівняння кола.
Розв’язання
Нехай центр кола лежить у початку деякої прямокутної декартової системи координат (рис. 2.38).
Виберемо за параметр t кут повороту радіус-вектора точки кола . Тоді
(2)
.
Маючи параметричні рівняння лінії, можна одержати рівняння виду
(3)
Для цього із системи (1) слід виключити параметр t. Наприклад, піднісши обидві частини рівняння (2) до квадрата і додавши, отримаємо:
.
Рівняння лінії (3) називається рівнянням лінії в неявній формі. Якщо з цього рівняння можна виразити у через х або х через у, отримаємо рівняння лінії в явній формі: або
.
У цьому випадку легко дістати параметричне задання лінії, взявши за параметр х або у відповідно. Наприклад, якщо лінія задана рівнянням , то параметричні рівняння матимуть вигляд:
Приклад 2. Записати в параметричній формі рівняння лінії .
Розв’язання
Виразимо у через х: .
Параметричні рівняння можна записати так:
Зауважимо, що рівняння
також є параметричними рівняннями цієї лінії.
§12. Рівняння лінії в полярній системі координат
Часто рівняння лінії в полярній системі координат має значно простіший вигляд, ніж у декартових координатах, і його легше досліджувати.
Приклад 1. Скласти рівняння кола в полярних координатах.
Розв’язання
Розмістимо центр кола в полярному полюсі (рис. 2.39); - рівняння кола.
Приклад 2. Відрізок сталої довжини 2 а рухається так, що його кінці знаходяться на двох взаємно перпендикулярних прямих. Знайти геометричне місце основ перпендикулярів, опущених на цей відрізок з вершини прямого кута.
Розв’язання
Приймемо точку перетину прямих за полярний полюс, а одну із сторін – за полярну вісь (рис. 2.40).
З ;
з .
Тоді . Щоб побудувати цю лінію, знайдемо точки, які задовольняють дане рівняння:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | - а | а | -а |
Утворена лінія називається чотирипелюстковою трояндою (рис. 2.41).
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 385 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!