Приклад. У прямокутній системі координат дано два вектори:

У прямокутній системі координат дано два вектори: . Знайти орієнтований кут .

Нехай . Тоді

, тому .

§ 6. Перетворення афінної системи координат

Нехай на площині задано дві афінні системи координат і (рис. 2.20). Першу назвемо старою, а другу – новою.

Задамо положення но­вої системи координат від­нос­но старої таким чином: нехай координатні вектори і початок координат у старій системі мають такі координати: .

Нехай М – довільна точка площини, яка в старій системі має координати , а в новій – . Поставимо завдання – виразити старі координати точки через нові.

Маємо

. (1)

Але

Оскільки , то

.

Тоді рівність (1) запишеться так:

,

звідки

(2)

Формули (2) називають формулами перетворення афінної системи координат.

Матриця , складена з коефіцієнтів біля називається матрицею перетворення системи координат; вона збігається з матрицею переходу від базису до базису . Оскільки вектори неколінеарні, то визначник цієї матриці

.

Розглянемо два частинні випадки перетворення афінної системи координат.

1) Паралельне перенесення системи координат (рис. 2.21).

Оскільки у цьому випадку , то і формули (2) запишуться у вигляді:

(3)

2) Перетворення системи координат без зміни початку координат (рис. 2.22).

Системи координат мають спільний початок і відрізняються координатними векторами, тому і, отже, формули перетворення мають вигляд:

(4)

Приклад 1. Записати формули перетворення афінної системи координат на площині, якщо координати нового початку і нових базисних векторів у старій системі такі: .