Розв’язання. Сторона квадрата дорівнює а, тому координати нового початку , , орієнтація не змінюється (рис

Сторона квадрата дорівнює а, тому координати нового початку , , орієнтація не змінюється (рис. 2.26). За формулами (1)

§ 8. Полярна система координат

Крім афінної системи координат, у математиці часто використовують так звану полярну систему координат, яка зручна для вивчення обертальних процесів.

Задамо на орієнтованій площині точку О і одиничний вектор (рис. 2.27).

Пара, яка складається з точки О і вектора , називається полярною системою координат на площині, позначається або .

Розглянемо вісь ОР, яка проходить через точку О у напрямку вектора , на цій осі додатній напрям визначається вектором .

Точка О називається полюсом, а вісь ОР – полярною віссю.

Нехай М – довільна точка площини (рис. 2.28). Позначимо - орієнтований кут.

Числа однозначно визначають поло­ження точки на площині. Ці числа нази­вають полярними координатами точки М в полярній системі : число називають полярним радіусом, а – полярним кутом. Пишуть: при цьому .

До кожної полярної системи координат можна приєднати декартову систему координат (з правою орієнтацією) (рис. 2.29).

Нехай – полярні координати, х, у – декартові. Тоді

. (1)

Отже, якщо відомі полярні координати точ­ки, то за формулами (1) легко знайти декартові коор­динати. Якщо відомі декартові координати, то полярні координати можна знайти за формулами:

. (2)

Введена нами полярна система координат має той недолік, що не будь-якій впорядкованій парі дійсних чисел можна поставити у відповідність точку на площині, а саме, цього не можна зробити, якщо перше число від’ємне або друге виходить за межі проміжку . Щоб усунути цей недолік, узагальнимо полярну систему координат так, щоб будь-яка пара дійсних чисел визначала певну точку на площині.

Нехай – довільна пара дійсних чисел, а – дана полярна система координат. Якщо , а , то цією парою визначена точка із полярними координатами так, як було показано раніше. Якщо або , але при цьому , то завжди можна знайти таке , що , де k – деяке ціле число. Тоді парою визначається точка . Якщо ж , то парою визначається точка, симетрична точці відносно полюса О.

Такі координати точки називаються узагальненими полярними координатами.

Приклад 1. Зобразити в полярній системі координат точки .

Розв’язання

1) , тому (рис. 2.30);

2) , тому точка симетрична точці відносно полюса О;

3) точка симетрична точці .

Підкреслимо, що будь-яка пара чисел, взятих у певному порядку, визначає єдину точку. Разом з тим, кожна точка площини має нескінченну множину узагальнених полярних координат. Наприклад, , – одна й та ж точка (рис. 2.31).

Відмітимо, що в узагальненій полярній системі координат дві пари чисел і визначають одну і ту ж точку (рис. 2.32).

Формули (1) справедливі і у випадку узагальнених полярних координат. Покажемо це. Нехай – узагальнені полярні координати. Якщо , а , то – звичайні полярні координати тієї самої точки. Тому

,

.

Якщо , то точка М має і такі координати: , де , і за доведеним

,

.

Приклад 2. У прямокутній декартовій системі координат дано точку М (-2;2). Знайти її полярні координати, якщо задані системи координат узгоджені.

Розв’язання

За формулами (2)

, отже, ; .

§9. Метод координат на площині