![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Дано відрізок . Побудувати точки
, які ділять відповідно відрізок
у відношеннях
Розв’язання
За формулою (3) маємо:
Побудова виконана на рис. 2.11.
Рис. 2.11
§ 4. Орієнтація площини
Означення 4.1. Нехай у просторі задано два різні базиси
і
(рис. 2.12).
Розкладемо вектори базису В за векторами базису А:
З коефіцієнтів розкладу, тобто з координат векторів у базисі
, утворимо матрицю
,
яку назвемо матрицею переходу від базису А до базису В. Визначник матриці переходу позначимо так:
Оскільки вектори лінійно незалежні, то
. Тому або
, або
.
Будемо говорити, що базиси А і В однаково орієнтовані, якщо , і протилежно орієнтовані, якщо
.
Таким чином, ми ввели між базисами відношення орієнтації. Покажемо, що це відношення є відношенням еквівалентності, тобто воно симетричне, рефлексивне і транзитивне.
1) відношення однакової орієнтації базисів симетричне: базис А однаково орієнтований з А. Дійсно,
.
2) відношення однакової орієнтації рефлексивна: якщо базис В однаково орієнтований з А, то базис А однаково орієнтований з В.
Дійсно, нехай , тобто
, де
– координати базисних векторів базису В в базисі А:
Тоді
3) відношення однакової орієнтації транзитивне: якщо базис однаково орієнтований з базисом
, а базис В однаково орієнтований з базисом
, то й базис А однаково орієнтований з С.
Дійсно, якщо , то й
.
Отже, відношення однакової орієнтації є відношенням еквівалентності.
Відношення однакової орієнтації має простий геометричний зміст: два базиси
і
будуть однаково орієнтованими, якщо обертання від вектора
до вектора
і від вектора
до вектора
по найкоротшому шляху здійснюється в одному й тому ж напрямку (проти годинникової стрілки або за годинниковою стрілкою (рис. 2.13 а), б)).
Якщо ж це обертання здійснюється в протилежних напрямках, то базиси протилежно орієнтовані (рис. 2.14 а), б)).
|
Рис. 2.14 а) Рис. 2.14 б)
Дійсно, відношення однакової орієнтації, встановлене таким чином, також є відношенням еквівалентності, бо воно симетричне, рефлексивне і транзитивне. Крім того, якщо два базиси однаково орієнтовані в цьому розумінні, то відповідний визначник переходу буде додатнім, а якщо ці базиси протилежно орієнтовані, то визначник переходу буде від’ємним. Так, базиси і
(рис. 2.15) протилежно орієнтовані і визначник матриці переходу
.
![]() |
Базиси однаково орієнтовані (рис. 2.16) і визначник
.
Відношення однакової орієнтації базисів дозволяє всю множину базисів підпростору розбити на два класи, якщо зафіксувати один із базисів підпростору
, а саме: до одного класу віднести множину базисів, однаково орієнтованих з даним базисом, а до другого – множину всіх базисів, протилежно орієнтованих з цим базисом. Якщо такий поділ базисів на класи здійснено, то простір векторів
називається орієнтованим. Площина ж називається орієнтованою, якщо орієнтований простір векторів цієї площини.
Для задання орієнтації на площині досить вибрати один базис і вважати його правим базисом. Правим базисом називатимемо базис , в якому обертання від
до
по найкоротшому шляху здійснюється проти годинникової стрілки. Протилежно орієнтований до нього базис називається лівим. При цьому система координат
називається правою, якщо базис
правий (рис. 2.17 а)), і лівою, якщо цей базис лівий (рис. 2.17 б)).
|
|
Рис. 2.17 а) Рис. 2.17 б)
Приклад. Дано базиси: і
. Координати векторів базису В в базисі А такі:
, а координати векторів базису С в базисі В:
. Однаково чи протилежно орієнтовані базиси А і С?
Розв’язання
Знайдемо визначник матриці переходу
,
отже, базиси А і С протилежно орієнтовані.
§ 5. Кут між векторами на орієнтованій площині
Означення 5.1. Нехай – ненульові вектори, задані в певному порядку:
– перший вектор,
– другий вектор. Якщо вектори
і
неколінеарні, то напрямленим (орієнтованим) кутом між векторами
і
називається величина
, якщо базис
правий, і –
, якщо базис
лівий (рис. 2.18 а), б)).
Рис. 2.18 а) Рис. 2.18 б)
Якщо , то
; якщо
, то
.
Отже, для орієнтованого кута
.
Нехай вектори задані своїми координатами
в прямокутній системі координат (рис. 2.19).
Виведемо формули для обчислення орієнтованого кута між цими векторами. Нехай .
Тоді
Але
;
;
.
Тоді
; (1)
. (2)
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 226 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!