Аналітичне задання фігури

Метод координат у геометрії полягає в тому, що за допомогою координат точок геометричні об’єкти задаються аналітично за допомогою чисел, рівнянь, нерівностей і їх систем. Тим самим при доведенні теорем або при розв’язуванні геометричних задач використовують аналітичні методи.

Означення 9.1. Аналітичним заданням фігури Ф в даній системі координат називається рівняння, нерівність або їх система, які задовольняють координати будь-якої точки фігури Ф і не задовольняють координати ніякої іншої точки, що не належить фігурі Ф.

Приклад 1. Задати аналітично пряму, яка є бісектрисою першого і третього координатних кутів прямокутної декартової системи координат.

Розв’язання

Аналітичним заданням цієї фігури буде рівняння

(1)

Дійсно, координати довільної точки М, яка лежить на бісектрисі (рис. 2.32), задовольняють рівняння (1) і його не задовольняють координати будь-якої іншої точки М ₁, яка не лежить на цій бісектрисі.

Приклад 2. Вияснити, що являє собою фігура, задана системою нерівностей у декартовій системі координат:

Розв’язання

Цією фігурою є прямокутник, зображений на рис. 2.33.

Означення 9.2. Рівняння

=0 (2)

називається рівнянням лінії в деякій афінній системі координат, якщо виконані дві умови:

1) координати будь-якої точки даної кривої задовольняють це рівняння;

2) будь-яка точка, координати якої задовольняють рівняння (2), належить даній кривій.

Приклад 3. Чи є рівняння

(3)

рівнянням бісектриси першого і третього координатних кутів прямокутної системи координат?

Розв’язання

Перевіримо виконання умов 1) і 2) означення 9.2.

1) якщо (рис. 2.34), то х = у (приклад 1), тому або . Отже, умова 1) виконана.

2) не лежить на бісектрисі кривої , якщо х = у, . Але тоді , тобто . Отже, точка не лежить на кривій , а координати її задовольняють рівняння (3). Друга умова означення 2 не виконана, тому рівняння (3) не є рівнянням бісектриси першого і третього координатних кутів прямокутної системи координат.

Легко переконатися, що рівняння (3) є рівнянням двох бісектрис , координатних кутів прямокутної декартової системи координат (рис. 2.34).

В аналітичній геометрії розглядають задачі двох типів:

1) знаючи геометричні властивості кривої (лінії), скласти її рівняння;

2) знаючи рівняння лінії, вияснити її геометричні властивості.

Приклад 4. Скласти рівняння кола в прямокутній декартовій системі координат.

Нехай центром кола є точка , а його радіус дорівнює (рис. 2.35). Якщо , то . З другого боку,

,

тому ,

або

(4).

Нехай координати точки задовольняють рівняння (4), тобто , звідки , тобто віддалена від С на відстань . Отже, .

Таким чином, рівняння (4) є рівнянням кола з центром у точці і радіусом .

Якщо центр кола міститься в початку координат, то його рівняння

.

Приклад 5. Дослідити, якою є лінія, задана в прямокутній декартовій системі координат рівнянням

. (5).

Розв’язання

Маємо:

.

Якщо , то це – коло з центром у точці і радіусом . Якщо , то це – точка . Якщо ж , то це рівняння не визначає жодної дійсної лінії.