Приклад. У прямокутній декар­товій системі координат дано точ­ки і

У прямокутній декар­товій системі координат дано точ­ки і . Знайти коорди­на­ти то­чок і , симетричних точкам А і В від­но­сно осей ОY і ОX відповідно. Обчис­лити відстань між точками і .

Розв’язання

Ордината точки, симетричної точці А відносно осі ОY, залишається незмінною, а абсциса змінює знак на протилежний (рис. 2.6). Тому координати точки . Аналогічно . Відстань обчислюється за формулою (1):

.

§ 3. Поділ відрізка в даному відношенні

Означення 3.1. Нехай і – дві точки площини, – деяке дійсне число, причому . Говорять, що точка М ділить напрямлений відрізок у відношенні , якщо (рис. 2.7).

З цього означення випливає, що .

Якщо , то і (рис. 2.8 а));

якщо , то і (рис. 2.8 б)).

Рис. 2.8 а) Рис. 2.8 б)

Нехай точки і задані своїми координатами у деякій афінній системі координат (рис. 2.9).

Поставимо задачу – знайти координати точки М, яка ділить відрізок у відношенні .

Нехай . За означенням . Але

Тоді

;

.

Оскільки , то звідси маємо:

Отже,

. (1)

Одержані формули називають формулами поділу відрізка в даному відношенні .

Якщо М – середина відрізка , то = 1 і, отже,

. (2)

Щоб зручно було будувати точку М, що ділить відрізок у відношенні , виразимо вектор через . За означенням , але , тому , або , звідки

. (3)