Необходимые сведения. Изучение статистических закономерностей начинается с фиксации (протоколирования) результатов обследования

Изучение статистических закономерностей начинается с фиксации (протоколирования) результатов обследования. Затем эти данные представляются в удобной для обозрения и изучения форме – в виде рядов, многоугольников, гистограмм распределений. Методика получения рядов распределений и их графического изображения – многоугольников и гистограмм – является важным в данной теме. Эту методику следует изучить по литературе, указанной в общих указаниях по выполнению самостоятельной работы.

Примеры решения задач.

Задача 1. Результаты обследования 20 семей по числу членов оказались таким: 2; 5; 3; 4; 1; 3; 6; 2; 4; 3; 4; 1; 3; 5; 2; 3; 4; 3; 4; 3. получить по этим данным вариационный ряд и построить полигон распределения относительных частот.

Решение. Проводим ранжирование заданного ряда. Для этого переписываем результаты наблюдений в порядке возрастания вариант: 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 6.

По ранжированному ряду определяем частоты различных вариант. Варианта 1 встречается в заданном ряду два раза. Следовательно, её частота равна . Варианта 2 встречается три раза, следовательно, ; аналогично получаем: , , , .

Определяем относительные частоты наблюдавшихся в выборке вариант. Они равны отношению соответствующей частоты варианты к общему числу наблюдений. Имея в виду, что общее число наблюдений (объем выборки) равно n =20, относительная частота варианты 1 будет равна

.

Аналогично

; ; ; ; .

Проверяем правильность расчетов. Для этого суммируем вычисленные относительные частоты:

Сумма всех относительных частот равна единице; следовательно, вычисления сделаны верно. Результаты вычислений сводим в таблицу 3, которая называется вариационным рядом или рядом распределения.

Ряд распределения числа членов в семье. Таблица 3.

Значение варианты
Частота варианты
Относительная частота варианты	0,10	0,15	0,35	0,25	0,10	0,05

Полученную таблицу изобразим на чертеже (рисунок 1). В прямоугольной системе координат по горизонтальной оси откладываем значения вариант , а по вертикальной оси – относительные частоты . Концы ординат относительных частот соединяем прямыми линиями. Полученная фигура называется многоугольником или полигоном распределения относительных частот.

Задача 2. Известны урожайности в центнерах на один гектар яровой пшеницы у 20 фермерах: 13,9; 12,4; 13,1; 6,3; 11,8; 11,6; 10,5; 10,4; 10,6; 11,3; 15,1; 11,7; 11,3; 10,2; 11,0; 10,7; 8,2; 9,6; 10,2; 15,1. Получить интервальный ряд распределения и начертить гистограмму.

Решение. Записываем исходные данные в виде ранжированного ряда: 6,3; 8,2; 9,6; 10,2; 10,2; 10,4; 10,5; 10,6; 10,7; 11,0; 11,3; 11,3; 11,6; 11,7; 11,8; 12,4; 13,1; 13,9; 15,1; 15,1.

Рассматривая этот ряд, видим, что диапазон изменения вариант в выборке составляет 6-16. Весь диапазон изменения вариант в выборке разбиваем на несколько интервалов. Размер интервала выбирается произвольно, но следует иметь в виду, что чем меньше интервал, тем точнее результаты. В данном случае принимаем размер интервала равным двум единицам, . Получаем пять интервалов: первый 6-8, второй 8-10, третий 10-12, четвертый 12-14, пятый 14-16.

Определяем частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадает одно (6,3) значение из ряда, поэтому . Во второй интервал попадает два значения (8,2 и 9,6), поэтому . Аналогично получаем: , и .

Определяем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

в первый интервал: ;

во второй интервал: ;

в третий интервал: ;

в четвертый интервал: ;

в пятый интервал: .

.

Сумма относительных частот равна единице, следовательно, вычисления произведены правильно.

Определяем плотность относительных частот вариант как отношение относительной частоты к размеру интервала :

для первого интервала: ;

для второго интервала: ;

для третьего интервала: ;

для четвертого интервала: ;

для пятого интервала: .

Результаты расчетов сводим в таблицу 4.

Таблица 4.

Интервальный ряд распределения урожайности, яровой пшеницы.

Интервал значений урожайности	6-8	8-10	10-12	12-14	14-16
Частота вариант
Относительные частоты	0,05	0,10	0,60	0,15	0,10
Плотность относительных частот	0,025	0,050	0,300	0,075	0,050

Выполняем построение гистограммы, которая показывает зависимость плотности относительных частот от значения вариант. По горизонтальной оси наносим шкалу возможных значений вариант, по оси ординат – плотность относительных частот; величину относительной плотности считаем постоянной внутри соответствующего интервала. Получаем столбчатую диаграмму, которая называется гистограммой распределения плотности относительных частот (рисунок 2).

Рисунок 2.

Статистические оценки параметров распределения.

В этой теме необходимо усвоить методику оценки неизвестных средней и дисперсии генеральной совокупности по данным обследования выборки для случая, когда наблюдаемая случайная величина распределена нормально. Следует запомнить, что интервал накрывает неизвестную генеральную среднюю с вероятностью 0,9973; интервал с вероятностью 0,9545.

Здесь - средняя выборки;

- среднее квадратичное отклонение средней выборки.

При такой оценке доверительного интервала, если объем выборки не мал (не менее 25 единиц), точное значение генеральной дисперсии можно заменять приближенным , соответствующим данной выборке.

Примеры решения задач.

Задача 3. Даны результаты обследования 25 единиц выборки: 9; 11; 9; 6; 6; 7; 6; 8; 9; 9; 11; 10; 6; 7; 6; 8; 9; 10; 4; 9; 10; 7; 8; 9; 6. определить:

1) величину, которую следует принять за среднюю генеральной совокупности;

2) величину, которую следует принять за дисперсию генеральной совокупности;

3) доверительный интервал с границами .

Решение. В качестве приближенного значения средней генеральной совокупности принимаем среднее арифметическое значение выборки:

.

Для оценки дисперсии генеральной совокупности применяем формулу

Среднее квадратичное отклонение выборочной средней найдем по формуле

.

Расчеты по приведенным формулам удобно свести в таблицу 5.

Таким образом:

1) в качестве средней генеральной совокупности принимаем ;

Вычисление параметров выборки. Таблица 5.

№ п/п	Результат наблюдения			№ п/п	Результат наблюдения
						-1
						-2
		-2
		-2
		-1				-4
		-2
						-1

Окончание таблицы 5.

						-2
		-2		Σ

2) в качестве дисперсии генеральной совокупности принимаем величину ;

3) доверительный интервал размером средних квадратичных отклонений получается таким:

среднее квадратичное отклонение средней выборки

;

доверительный интервал

.

Вопросы для подготовки к экзамену (II семестр).

1. Векторы и линейные операции над ними. Арифметическое

-мерное векторное пространство . Геометрический смысл пространств и .

2. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина векторов, угол между векторами.

3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

4. Базисы и ранг системы векторов. Базис пространства . Разложение вектора по произвольному базису.

5. Ортогональные системы векторов.

6. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых.

7. Различные способы задания плоскости. Угол между плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

8. Прямая в пространстве. Взаимное расположение двух прямых.

9. Взаимное расположение прямой и плоскости.

10. Кривые второго порядка:

окружность, эллипс, гипербола, парабола.

11. Определители и их свойства. Способы вычисления определителей.

12. Матрицы и действия с ними. Свойства операций над матрицами.

13. Обратная матрица и способы её нахождения.

14. Ранг матрицы. Различные методы вычисления ранга матрицы.

15. Системы линейных уравнений, основные понятия. Метод Гаусса. Метод Жордана-Гаусса.

16. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и с помощью обратной матрицы.

17. Теорема Кронекера-Капелли. Решение неопределенных систем линейных уравнений. Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений.

18. Однородные системы линейных уравнений. Построение фундаментальной системы решений.

19. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

20. Системы линейных неравенств. Основная задача линейного программирования (ЛП). Геометрический метод решения задачи ЛП с двумя переменными.

21. Основные понятия теории вероятностей: опыт, множество элементарных исходов, событие. Операции над событиями.

22. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Классическая вероятностная схема.

23. Элементы комбинаторики и вычисление вероятности событий. Геометрическая вероятность.

24. Теоремы сложения вероятностей.

25. Условная вероятность. Независимость событий. Теоремы умножения вероятностей.

26. Формула полной вероятности.

27. Формулы Байеса.

28. Вероятность событий в схеме Бернулли.

29. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

30. Определение случайной величины. Виды случайных величин. Функция распределения случайной величины и её свойства.

31. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

32. Плотность распределения и функция распределения непрерывной случайной величины. Свойства плотности и функции распределения непрерывной случайной величины.

33. Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания.

34. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства дисперсии.

35. Распределение дискретных случайных величин: биномиальное, Пуассона, их числовые характеристики.

36. Равномерное и показательное распределение, их числовые характеристики.

37. Нормальное распределение и его числовые характеристики.

38. Системы случайных величин. Закон распределения двумерной случайной величины.

39. Числовые характеристики системы двух случайных величин. (регрессия величины У на Х; корреляционный момент, коэффициент корреляции, линейная средняя квадратическая регрессия У на Х).

40. Предельные теоремы теории вероятностей.

41. Элементы математической статистики:

1) Вариационный ряд. Таблица частот. Гистограмма.

2) Оценки параметров распределения.

3) Доверительные оценки.

Список рекомендуемой литературы.

Основная:

1. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т. И.

Курс высшей математики для экономических вузов.

Ч 1,2.М.:Высшая школа, Ч1: 1982.-272с; Ч2: 1982.-320с.

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.-656с.

3. Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики.

М.: Высшая школа, 1972.-480с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1998.-479с.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1998.-400с.

6. Авдонькина А.В., Ни В.Н. под редакцией профессора

Ни В.Н. Математика. Раздел: Векторная и линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. Учебное пособие. -Челябинск: ЧИ(ф) РГТЭУ, 2003.-140с.

7. Авдонькина А.В., Ни В.Н.Методические указания к проведению практических занятий по теории вероятностей. Челябинск: ЧИ МГУК,1999.-114с.

Дополнительная:

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.Ч. 1: Учебное пособие для вузов. – 5-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 1997.-304с. Ч.2: Учебное пособие для вузов – 5е изд., испр. – М.: Высшая школа, 1997.- 416с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред. В.И.Ермакова. - М.: Инфра - М.,

2001.-656с. - (Серия «Высшее образование»).

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: Инфра – М., 2002. – 575с. – (серия «Высшее образование»).

4. Колемаев В.А., Староверов О.В. Турудаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. –Высшая школа, 1991.-400с.