Необходимые сведения. называется системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, где

Выражение вида

(1)

называется системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, где

(2)

Матрица коэффициентов данной системы (основная матрица системы уравнений),

-матрица столбец неизвестных. (3)

-матрица столбец свободных членов. (4)

расширенная матрица данной

системы. (5)

Заметим, что расширенная матрица отличается от матрицы А столбцом свободных членов, следовательно, где - ранг матрицы А, -ранг расширенной матрицы .

Упорядоченная система чисел () называется решением системы, если каждое из уравнений системы обращается в верное равенство после подстановки вместо соответственно чисел .

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной. Если система уравнений содержит уравнение

называемое противоречивым, то она несовместна.

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения. Если в системе вычеркнуть одно или несколько уравнений называемых тривиальными, то получим систему уравнений, равносильную исходной.

Следующие преобразования системы линейных уравнений, называемые элементарными, не изменяют множества решений системы:

1) умножение какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число;

2) прибавление к обеим частям i -го уравнения соответствующих частей k -го уравнения, умноженные на число .

Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда и несовместна, когда

Рангом матрицы называется наибольший порядок её миноров, отличных от нуля.

Из определения следует, что:

1) Для матрицы размерностью , где -меньше из чисел m и n;

2) , где θ- нуль – матрица;

3) если матрица - невырожденная.

Теорема. Ранг матрицы не меняется:

1) при транспонировании матрицы, то есть

2) при элементарных преобразованиях матрицы.

Базисным минором матрицы называется отличный от нуля её минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Строки и столбцы, образующие базисный минор, называют базисными.

Теорема о базисном миноре

1. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

2. Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы.

Следствие 1. Всякий небазисный ряд (строка или столбец) матрицы является линейной комбинацией всех параллельных ему рядов матрицы.

Следствие 2. Максимальное число линейно независимых параллельных рядов матрицы равно рангу матрицы.

Следствие 3. Критерий равенства нулю определителя.

Для того, чтобы определитель матрицы был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы некоторый его ряд был линейной комбинацией других параллельных ему рядов.

Методы нахождения решений систем линейных уравнений.

1. Матричный метод.

Запишем систему вида (1) в виде

(6)

Пусть m=n, то есть число уравнений системы совпадает с числом неизвестных, следовательно, матрица А квадратная и пусть ( - определитель матрицы А). В этом случае для матрицы А существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения на матрицу слева (не справа!) имеем откуда (так как - единичная матрица).

Замечание 1. Так как , то . Действительно, ранг матрицы равен порядку базисного минора (определителя наивысшего порядка, составленного из элементов матрицы А, отличного от нуля). Расширенная матрица содержит n строк и n+ 1 столбец. Наибольший порядок определителя, составленного из элементов матрицы , равен n. (определителей n+ 1 порядка и выше для матрицы А не существует!) А так как элементы матрицы А являются элементами матрицы и , то , и следовательно, система совместна (Теорема Кронекера-Капелли).

Замечание 2. Так как обратная матрица для матрицы А единственна, то решение искомой системы является единственным.

Вывод. Если в системе линейных уравнений число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система всегда имеет решение и притом единственное.

Формулы Крамера.

Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:

(7)

Где ∆- определитель основной матрицы системы;

-определитель, получаемый из определителя ∆ заменой

k -го столбца столбцом свободных членов.