Однородные системы линейных уравнений

Система

, (8)

у которой все свободные члены называется однородной. Расширенная матрица однородной системы отличается от основной матрицы А нулевым столбцом, следовательно то есть однородная система всегда имеет решение (теорема Кронекера-Капелли). Одно из них тривиальное Если (n -число неизвестных), то это решение будет единственным, если же , то система имеет бесконечное множество решений.

Пусть , то есть однородная система имеет бесконечное множество решений.

Произвольная линейная комбинация решений однородной системы уравнений является решением этой системы. Линейно независимые решения однородной системы уравнений называются фундаментальной системой решений, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений .

Линейно независимая система решений однородной системы уравнений будет её фундаментальной системой решений тогда и только тогда, когда .

Алгоритм построения фундаментальной системы решений:

1. Найти общее решение однородной системы уравнений.

2. Взять систему n-r линейно независимых (n-r)- мерных векторов. Например, .

3. Подставить в общее решение вместо свободных неизвестных координаты вектора , а затем найти значения разрешенных неизвестных. Полученная совокупность значений неизвестных является решением . Аналогично с помощью векторов найти решения .

Полученные решения образуют фундаментальную систему решений.