Геометрический метод решения системы m линейных неравенств с двумя неизвестными

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки. Выпуклые множества обладают важным свойством:

Пересечение (общая часть) любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Точка множества называется внутренней, если в некоторой её окрестности (круг, шар) с центром в этой точке содержатся точки только данного множества.

Точка множества называется граничной, если в любой её окрестности содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие ему.

Точка множества называется угловой (или крайней), если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего данному множеству.

Множество точек называется замкнутым, если включает все свои граничные точки. Множество точек называется ограниченным, если существует шар (круг) радиуса конечной длины с центром в любой точке множества, который полностью содержит в себе данное множество; в противном случае множество называется неограниченным.

Выпуклое замкнутое множество точек пространства (плоскости), имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многогранником (многоугольником), если оно ограниченное, и выпуклой многогранной (многоугольной) областью, если оно неограниченное.

Множество решений совместной системы m линейных неравенств с двумя переменными

(9)

является выпуклым многоугольником (или выпуклой многоугольной областью). Этот многоугольник может быть ограниченным неограниченным.

Решением системы линейных неравенств с двумя неизвестными может быть:

1) одна точка;

2) выпуклая ограниченная многоугольная область;

3) выпуклая неограниченная многоугольная область;

4) пустое множество, тогда система неравенств называется несовместной.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение.

1. Составим матрицу где λ – неизвестное собственное значение квадратной матрицы А, - единичная матрица третьего порядка

2. Составим характеристическое уравнение вида

Матрица А имеет два собственных значения:

3. Найдем собственные векторы для собственных значений.

Пусть

1) Найдем элементы матрицы

.

2) Составим систему линейных уравнений

, θ=(0; 0; 0).

Найдем методом Гаусса решение этой системы уравнений:

-1

~ ; Уравнение - общее решение системы линейных уравнений. Каждое из неизвестных является разрешенным. Выберем в качестве разрешенной неизвестной . Тогда - свободные неизвестные.

Подставляя наборы значений для свободных неизвестных

в общее решение, получим

- решения, которые образуют фундаментальную систему решений.

Произвольный собственный вектор для собственного значения имеет вид

где - произвольные числа.

3) Пусть λ=2

4) Составим систему линейных однородных уравнений вида

Найдем ранг матрицы

-1

~ ~ ~ ,

- ранг матрицы

система имеет бесконечное множество решений.

Найдем общее решение системы.

Продолжим преобразование матрицы

~ ~

Получим систему равносильную исходной

- система разрешенная; - разрешенные переменные – базисные; - свободная переменная.

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений состоит из одного вектора . =1, тогда

- фундаментальное решение.

Произвольный собственный вектор для собственного значения λ=2:

Ответ:

λ =2;

С примерами построения областей решений систем линейных неравенств Вы сможете познакомиться в учебном пособии: Авдонькина А.В., Ни В.Н. Математика. Раздел: Векторная и линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. Челябинск, 2003г.