Необходимые сведения

При классическом определении вероятность события определяется равенством

где m -число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n - общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

Относительная частота события А определяется равенством

где m -число испытаний, в которых событие А наступило;

n - общее число произведенных испытаний. При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту при неограниченном увеличении числа испытаний. Решение задач по теории вероятностей на классическую схему часто облегчается за счет использования формул комбинаторики.

Если из множества, содержащего n элементов, каким-то способом отобраны m элементов (m ≤ n), то говорят, что из этого множества произведена выборка объема m.

Если порядок расположения элементов выборки принимают во внимание, то выборки называют упорядоченными. Таким образом, две упорядоченные выборки считаются различными, если они отличаются либо составом элементов, либо их расположением. В том случае, когда порядок расположения элементов не учитывают, выборки называют неупорядоченными. Следовательно, две неупорядоченные выборки считают различными, если в одной из них есть хотя бы один элемент, которого нет в другой.

Элементы в выборке могут повторяться, тогда она называется выборкой с повторениями. Если повторения запретить, получим выборку без повторений.

Размещения.

Всякая упорядоченная выборка объема m из множества,

содержащего n элементов (m ≤ n), называется размещением из n

элементов по m элементов без повторений.

Число размещений из n элементов по m задается равенством

Для удобства принято считать, что Условились, что 0!=1 и 1!=1.

Число размещений с повторениями из n предметов по m обозначается .

Справедлива формула .

Перестановки.

Размещением из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов.

Перестановки являются частным случаем размещений. Различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов. Число перестановок из n элементов обозначают

через .

Сочетания.

Всякая неупорядоченная выборка объёма m из множества, содержащего n элементов (m ≤ n), называется сочетанием из n элементов по m элементов без повторений.

Число сочетаний из n элементов по m задаётся равенством

Некоторые свойства сочетаний.

Число сочетаний из n элементов по m с повторениями будем находить по формуле

При решении задач на подсчет числа выборок нужно ставить два вопроса:

1. возможны ли повторения выбираемых элементов?

2. важен ли порядок элементов?

В зависимости от ответов используют соответствующую формулу таблицы: