![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном опыте.
Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу.
Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из рассматриваемых событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий:
Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий;
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. Произведением событий называется событие, состоящее в появлении всех из рассматриваемых событий.
Вероятность события B, вычисленная при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В относительно события А. Эта вероятность обозначается или
.
Теорема умножения вероятностей двух событий.
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого:
.
Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют в предположении, что все предыдущие события уже наступили;
.
Если появление одного из событий не влияет на вероятность появления другого, то такие события называются независимыми.
Для двух независимых событий
.
Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы.
События называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий, одного или нескольких.
Вероятность произведения нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению их вероятностей:
События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыте.
Теорема сложения вероятностей двух совместных событий:
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий
Событие называется противоположным событию А, если оно состоит в непоявлении события А.
Противоположные события должны одновременно удовлетворять двум соотношениям
1. - достоверное событие;
2. ; где
- пустое множество.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
.
Вероятность появления хотя бы одного события.
Вероятность появления хотя бы одного события из событий то есть вероятность суммы независимых в совокупности событий вычисляется по формуле:
.
Если все события имеют одинаковую вероятность, равную
, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий определяется по формуле
, где
Формула полной вероятности.
Формулы Байеса.
Если некоторое событие А может произойти с одним из n попарно несовместных событий (гипотез) образующих полную группу событий, то для определения вероятности этого события может быть использована формула полной вероятности
, где
- вероятность события
;
- условная вероятность события А, при каждой из гипотез
Для определения вероятности события при условии, что произошло событие А, используются формулы Байеса.
где
,
р(А) – полная вероятность события А.
Формулы Бернулли и Пуассона.
Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Рассмотрим независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.
Формула Бернулли.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно m раз (безразлично, в какой последовательности), равна
,
где
вероятность того, что в n испытаниях событие наступит:
а) менее m раз; б) более m раз; в) не менее m раз; г) не более m раз, - находят соответственно по формулам:
а)
б)
в)
г)
При больших n и малых p вычисления по формуле Бернулли затруднены. В этих случаях обычно используется формула Пуассона
Дискретные случайные величины.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять любые заранее неизвестные значения. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).
Законом распределения вероятностей (рядом распределения) дискретной случайной величины называется последовательность возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем
X | ![]() | ![]() | … | ![]() |
p | ![]() | ![]() | … | ![]() |
Ряд распределения можно задать графически, откладывая на горизонтальной оси значения X, а на вертикальной – соответствующие им значения вероятностей.
Графическое представление ряда распределения называется многоугольником распределения.
Для дискретной случайной величины можно ввести понятие функции распределения , которая равна вероятности случайного события, состоящего в том, что дискретная случайная величина X примет одно из возможных значений, меньших некоторого значения x, т.е.
.
Математическое ожидание и дисперсия.
Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности:
Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то
причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. где С – произвольная постоянная величина.
2. если
- взаимно независимые случайные величины.
Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
3.
4. , где X – дискретная случайная величина;
n -число испытаний с биномиальным законом распределения;
Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна .
Характеристиками рассеяния возможных значений случайной
величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
.
Дисперсию удобно вычислять по формуле
Дисперсия обладает следующими свойствами.
1. где С – произвольная постоянная.
2. где
- независимые случайные величины.
3. , где X –дискретная случайная величина с биномиальным законом распределения; n – число испытаний;
- вероятность появления и вероятность непоявления события в одном испытании соответственно.
4. где s (X) – среднее квадратичное отклонение.
Непрерывные случайные величины.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина x примет значение, меньшее x, то есть
.
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1.
2. ,
3. ,
4. ,
5. .
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:
Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а; в), определяется равенством
.
Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения
.
Плотность распределения обладает следующими свойствами:
1. ,
2. .
Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; в), то .
Математическое ожидание и дисперсия.
Мода и медиана.
Средним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется значение интеграла
, где
- плотность вероятности.
Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется значение интеграла
Для определения дисперсии может быть также использована формула .
Модой непрерывной случайной величины Х называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.
Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое её значение, при котором выполняется равенство
.
Равномерное распределение.
Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке [ а; в ], если её плотность вероятности имеет вид
.
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются выражениями
.
Показательное распределение.
Распределение непрерывной случайной величины Х называется показательным (экспоненциальным), если плотность вероятности этой величины описывается функцией
где λ – положительное число.
Соответственно, функция распределения вероятностей имеет вид
Математическое ожидание и дисперсия показательного распределения соответственно равны:
Нормальное распределение.
Случайная величина Х распределена по нормальному закону, если её функция плотности распределения вероятностей имеет вид
,
где - математическое ожидание;
– среднее квадратичное отклонение.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (а; в) находится по формуле
где - функция Лапласа.
Значения функции Лапласа для различных значений Z приведены в Приложении.
Функция Лапласа нечетная, то есть
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа ε, .
Мода и медиана нормального распределения соответственно равны:
Законы распределения двумерной случайной величины.
Двумерной называют величину (X; У), возможные значения которой есть пары чисел (x; у). Случайные величины X и У, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию , определяющую для каждой пары чисел (x; у) вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом У примет значение, меньшее у:
Для дискретной случайной величины распределение может быть задано в виде таблицы распределения, в которой каждой паре значений ставится в соответствие вероятность появления этой пары
.
Плотностью совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины называют вторую смешанную производную от функции распределения:
.
Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины выражается через двумерную плотность вероятности по формуле
.
Вероятность совместного появления пары дискретных случайных величин можно записать в виде
где - условные вероятности.
Для непрерывных случайных величин плотность вероятности записывается в виде
Числовые характеристики системы двух случайных величин.
Среди числовых характеристик двумерной случайной величины важнейшими являются условное математическое ожидание и ковариация.
Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины У при Х=х называют сумму произведений возможных значений У на их условные вероятности
Для непрерывных случайных величин условное математическое ожидание определяется интегралом:
Условное математическое ожидание называется также регрессией величины У на Х.
Аналогично определяется регрессия Х на У:
для дискретной случайной величины
;
для непрерывной случайной величины
.
Ковариацией или корреляционным моментом
случайных величин Х и У называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий:
Коэффициентом корреляции случайных величин Х и У называется отношение ковариации к произведению средних квадратичных отклонений этих величин:
Линейной средней квадратической регрессией У на Х называется функция вида
где
С примерами решения задач по теории вероятностей Вы можете познакомиться в книге: «Методические указания к проведению практических занятий по теории вероятностей». Челябинск: ЧИ МГУК, 1999. - 144с.
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 821 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!