Доказательство. Доказательство проведем для случая

Доказательство проведем для случая . Случай доказывается аналогично.

Пусть произвольная точка из (a, b). Покажем, что график функции у = f(x) лежит не ниже касательной, проходящей через точку М(,f()). Уравнение касательной имеет вид где Y - текущая ордината касательной. Разложим функцию у = f(х) в ряд Тейлора для п = 1. Получим Вычитая полученные равенства, имеем Так как no-условию теоремы, то

А это означает, что всюду на (a,b ) график функции лежит не.Ниже касательной, проведенной через точку Аналогично доказывается теорема для случая

№56. Точки перегиба графиков функции. Необходимое условие точки перегиба и достаточное.

DEF. Точка М(,f()) называется точкой перегиба графика функции у = f(x), если в точке М график имеет касательную, и существует такая окрестность точки в пределах которой график

функции у = f(x) слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости.

В точке перегиба касательная пересекает график функции, так как с одной стороны от этой точки график лежит под касательной, а с другой над нею, т. е- в окрестности точки перегиба график функции переходит с одной стороны касательной на другую и перегибается через нее.