Локальный экстремум функции

Точка называется точкой строгого локального Максимума (минимума) функции f(x), если для всех X из некоторой d окрестности точки выполняется неравенство

Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум. Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный (от латинского слова locus - место) характер в том смысле; что неравенство может и не выполняться для всех значений х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки . На множестве Х функция может иметь несколько локальных минимумов, причем может случиться так, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то локального минимума.

Необходимое условие локального экстремума Теорема. Если функция f(х) имеет в точке локальный.экстремум И дифференцируема в этой точке, то f'()= 0. Д оказательство Так как в точке функция f(x) имеет локальный экстремум, то существует такой интервал ( -d; +d), в котором значение f()является наибольшим или наименьшим среди всех других значений этой функции. Тогда по теореме Ферма производная функции в точке равна нулю, т.е. f'() = 0.

Эта теорема имеет следующий геометрический смысл. Если точки Х1,Х2, точки локального экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти Х касательные параллельны оси OX.

Точки, в которых f'(x) = 0 называют стационарными или точками возможного экстремума- Если точка является точкой возможного экстремума, т.е. f '() = 0, то она может и не быть точкой •локального максимума или минимума.