Доказательство. Покажем сначала, что g(b)-g(a)¹ 0, т.е., что формула имеет смысл

Покажем сначала, что g(b)-g(a)¹ 0, т.е., что формула имеет смысл. Действительно, если допустить, что g[b} =g(a), то по теореме Ролля для функции g(x) найдется точка , в которой. . А это противоречит условию, что g(х) ¹ 0 на (а, b ). Докажем формулу (2). Рассмотрим на [а,b] вспомогательную функцию Нетрудно заметить, что F(x) на [а,b] удовлетворяет условиям тео­ремы Ролля:

1) F(x') непрерывна на [a,b],

1) дифференцируема на (а, b), кроме того, F(b) = 0 и F(a) = 0„ т.е. F(a) = F(b). По теореме Ролля для функции F(x) существует точка с, а < с <b, такая, что F’(с) = 0.

Гак как

Учитывая, что g'(x) ¹0, получаем формулу (2).

Формула (2) называется формулой Коши или обобщённой формулой конечных приращений.