Признак монотонности функции

Докажем теорему для случая Пусть Х1 и. Х2 две произ­вольные точки из (а,b) и x1<Х2; тогда на отрезке [х1,х2] выполняются все условия теоремы Лагранжа, и следовательно выполняется

Условие По условию, , поэтому , т.е. функция.f(x) не убывает на (a,b).

Случай доказывается аналогично,

Аналогично можно доказать, что если на (a,b ), то f(х) возрастает (убывает) на (а,b).

Положительность (отрицательность) производной f'(с) не является необходимым условием возрастания (убывания) функции f(x) в точке с. В качестве примера назовем функцию f(х)= , которая возрастает в точке х = 0 и тем не менее имеет в этой точке производную f'(0)=0. Если в условии теоремы функция f(х) непрерывна в точке a справа, то f(x) монотонна на промежутке [a,b ). Действительно, в этом случае можно пользоваться теоремой Лагранжа и при х1=а. Аналогичное замечание относится и к точке b, если функция f(х) непрерывна в точке b слева.