Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Признак монотонности функции



Теорема. Если функция f(x) дифференцируема на интервале (а,b) и на (а,b) то функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b). Доказательство^

Докажем теорему для случая Пусть Х1 и. Х2 две произ­вольные точки из (а,b) и x1<Х2; тогда на отрезке [х1,х2] выполняются все условия теоремы Лагранжа, и следовательно выполняется

Условие По условию, , поэтому , т.е. функция.f(x) не убывает на (a,b).

Случай доказывается аналогично,

Аналогично можно доказать, что если на (a,b ), то f(х) возрастает (убывает) на (а,b).

Положительность (отрицательность) производной f'(с) не является необходимым условием возрастания (убывания) функции f(x) в точке с. В качестве примера назовем функцию f(х)= , которая возрастает в точке х = 0 и тем не менее имеет в этой точке производную f'(0)=0. Если в условии теоремы функция f(х) непрерывна в точке a справа, то f(x) монотонна на промежутке [a,b ). Действительно, в этом случае можно пользоваться теоремой Лагранжа и при х1=а. Аналогичное замечание относится и к точке b, если функция f(х) непрерывна в точке b слева.





Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 300 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...