![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема Пусть функция f(х) дифференцируема в некоторой d -окрестности точки . Тогда, если f'(х)>0 (f’(х)<0) -для всех Î(хо-d;
) и f’'(x) < 0(f’'(х)>0) для всех хÎ(
,
+d ), то в точке
функция f(х) имеет локальный максимум (минимум), если же f'(х) во всей d -окрестности точки
имеет один и тот же знак, то в точке
Локального экстремума нет-Другими словами, если f '(х) при переходе через точку
меняет знак с «+», на «—«•то
- точка локального максимума, если f '(x) в точке
меняет знак с «-» на»+»,то
, - точка локального минимума, если же f'(с) в точке
знака не меняет, то в точке
экстремума нет.
Доказательство Пусть f'(x) при переходе через точку меняет знак с «+».на «-«и пусть х Î(
-d;
). Применим формулу Лагранжа к- функции f(x) на отрезке [х,
]. Получаем
Так как f'(x) >0 на (
-d;
), то f’(c) > 0, и, кроме того
-х>0, следовательно,
(I) Рассмотрим теперь случай, когда х Î(
;
+d). Применим.формулу Лагранжа к функции f(x) на отрезке [
, х]. Получаем f
Так как /
И, кроме того,
—Х < 0, следовательно,
(2) Из неравенств (1) и (2) следует, что в рассматриваемой окрестности точки
выполняется неравенство f(х) < f(
) при x ¹ 0, а это означает, что в точке
функция, f(x) имеет локальный максимум.
Аналогично рассматривается случай перемены знака f'(x) с «-«на»+»-
Осталось рассмотреть случай, когда f'(х) знака не меняет. Пусть f'(x) > 0 в некоторой окрестности ; тогда по. теореме о монотонности функции функция f(х) возрастает на (
т.е. для любых х<
выполняетая-неравенство f(х) <f(хо), а для любых x>
f(x)-> f(
). Это означает, что точка
не является точкой локального экстремума.
Теорема остается справедливой, если функция f{x) в самой точке не дифференцируема, а только непрерывна.
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 196 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!