Первое достаточное условие локального экстремума

Теорема Пусть функция f(х) дифференцируема в некоторой d -окрестности точки . Тогда, если f'(х)>0 (f’(х)<0) -для всех Î(хо-d; ) и f’'(x) < 0(f’'(х)>0) для всех хÎ(, +d ), то в точке функция f(х) имеет локальный максимум (минимум), если же f'(х) во всей d -окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке Локального экстремума нет-Другими словами, если f '(х) при переходе через точку меняет знак с «+», на «—«•то - точка локального максимума, если f '(x) в точке меняет знак с «-» на»+»,то , - точка локального минимума, если же f'(с) в точке знака не меняет, то в точке экстремума нет.

Доказательство Пусть f'(x) при переходе через точку меняет знак с «+».на «-«и пусть х Î( -d; ). Применим формулу Лагранжа к- функции f(x) на отрезке [х, ]. Получаем Так как f'(x) >0 на ( -d; ), то f’(c) > 0, и, кроме того -х>0, следовательно, (I) Рассмотрим теперь случай, когда х Î(; +d). Применим.формулу Лагранжа к функции f(x) на отрезке [ , х]. Получаем f Так как / И, кроме того, —Х < 0, следовательно,

(2) Из неравенств (1) и (2) следует, что в рассматриваемой окрестности точки выполняется неравенство f(х) < f() при x ¹ 0, а это означает, что в точке функция, f(x) имеет локальный максимум.

Аналогично рассматривается случай перемены знака f'(x) с «-«на»+»-

Осталось рассмотреть случай, когда f'(х) знака не меняет. Пусть f'(x) > 0 в некоторой окрестности ; тогда по. теореме о монотонности функции функция f(х) возрастает на ( т.е. для любых х< выполняетая-неравенство f(х) <f(хо), а для любых x> f(x)-> f(). Это означает, что точка не является точкой локального экстремума.

Теорема остается справедливой, если функция f{x) в самой точке не дифференцируема, а только непрерывна.