![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию на [a,b]
Функция F(х) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля:
1) F(x) непрерывна на [a,b] (как разность двух непрерывных функций f(x) и линейной функции
.2) F(x) 'дифференцируема на,(а;b),.т.е. внутри [a,b] имеет производную, равную
Следовательно, по теореме Ролля существует точка сÎ(а,b) такая, что . Отсюда получаем’
Теорема доказана.
Установим геометрический смыся теоремы Лагранжа, Пусть -концы графика функции f(x), АВ - хорда, соединяющая точки А и В. Тогда отношение
равно тангенсу угла
между хордой АВ и оськ» ОХ, т.е.
а производная f’’(c), как известно, равна тангенсу угла a между кaсательной к графику функции f в точке (с, f(с)) и положительным направлением оси ОХ, т.е.
. Поэтому
, Таким образом геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в следующем: на кривой, являющейся графиком функции у=f(x), удовлетворяющей условиям теоремы Лагранжа, существует точка С(с,f(с)) (по крайней мере, одна), в которой касательная параллельна хорде АВ. Отметим, что равенство называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Эта формула важна тем, что она связывает приращение функции на конечном отрезке с производной функции на этом отрезке. Так как точка лежит между точками a и b, то с=
, где
, Учитывая зто, формулу Лагранжа можно записать в виде
. Если положить
, то получим
Такая запись формулы Лагранжа часто бывает удобнее, чем первал-Формула Лагранжа может быть представлена и в виде
Таким образом, она справедлива не только при а <b, но и при а > b
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 176 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!