Доказательство. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию на [a,b]

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию на [a,b]

Функция F(х) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля:

1) F(x) непрерывна на [a,b] (как разность двух непрерывных функций f(x) и линейной функции

.2) F(x) 'дифференцируема на,(а;b),.т.е. внутри [a,b] имеет производную, равную

Следовательно, по теореме Ролля существует точка сÎ(а,b) такая, что . Отсюда получаем’

Теорема доказана.

Установим геометрический смыся теоремы Лагранжа, Пусть -концы графика функции f(x), АВ - хорда, соединяющая точки А и В. Тогда отношение равно тангенсу угла между хордой АВ и оськ» ОХ, т.е. а производная f’’(c), как известно, равна тангенсу угла a между кaсательной к графику функции f в точке (с, f(с)) и положительным направлением оси ОХ, т.е. . Поэтому

, Таким образом геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в следующем: на кривой, являющейся графиком функции у=f(x), удовлетворяющей условиям теоремы Лагранжа, существует точка С(с,f(с)) (по крайней мере, одна), в которой касательная параллельна хорде АВ. Отметим, что равенство называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Эта формула важна тем, что она связывает приращение функции на конечном отрезке с производной функции на этом отрезке. Так как точка лежит между точками a и b, то с= , где , Учитывая зто, формулу Лагранжа можно записать в виде . Если положить , то получим Такая запись формулы Лагранжа часто бывает удобнее, чем первал-Формула Лагранжа может быть представлена и в виде Таким образом, она справед­лива не только при а <b, но и при а > b