![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Розглянемо графік функції і точку
, яка є внутрішньою точкою області визначення. Зокрема, це означає, що функція визначена в деякому околі
.
![]() |
Точці на графіку відповідає точка
. Проведемо через точку
січну, яка перетинає графік у поточній точці
. Позначимо
. Різницю значень функції в цих точках позначимо:
.
Січна утворює з віссю абсцис кут, який дорівнює куту . Тангенс цього кута дорівнює
і залежить від положення точки
. Будемо пересувати точку
до точки
. При цьому січна буде повертатися навколо точки
, а дуга
прямуватиме до нуля.
Означення 4.4. Дотичною до графіка функції у точці
називається граничне положення січної
, яке вона займає, при тому що дуга
.
Кут нахилу дотичної ,
буде знаходитися як границя кутів
, при
, що прямує до
, тобто
. Як відомо, кутовий коефіцієнт існує не у всіх прямих. Якщо
, то кутовий коефіцієнт дотичної буде дорівнювати:
.
Отже, для випадку, коли дотична не перпендикулярна вісі абсцис, похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної. Якщо ж дотична перпендикулярна до вісі абсцис, то похідна не існує, .
Таким чином, між похідною та дотичною існує такий зв'язок: якщо існує похідна в точці, то до графіка функції у відповідній точці існує дотична, але якщо в точці існує дотична, то похідна в цій точці може не існувати.
Приклад. Розглянемо поведінку функції в точці
. Дотична в цій точці існує і перпендикулярна до вісі абсцис, а похідна,
, не існує.
Зауваження. Нехай функція визначена на відрізку . За означенням, похідна функції в точці є границею, а необхідною і достатньою умовою існування границі є існування та рівність односторонніх границь. Оскільки функція не визначена зліва від точки
, то лівостороння границя тут не існує, отже, не існує границя взагалі, тобто похідна також не існує. Аналогічна ситуація в точці
. Таким чином, якщо функція визначена на відрізку
, то вона може мати похідну лише на інтервалі
.
Теорема 4.1. (Зв'язок між похідною і неперервністю). Якщо існує похідна функції в точці , то функція неперервна у
.
Доведення Якщо в точці існує похідна, то з означення похідної функції в точці та означення границі функції випливає, що прирощення функції можна подати у вигляді:
,
де - нескінченно мала величина при
.
Таким чином, нескінченно малому прирощенню аргументу відповідає нескінченно мале прирощення функції, а це, за одним з означень неперервності, установлює неперервність функції в точці .
Зауважимо, що обернене твердження не є істинним. Прикладом є функція . У точці
функція є неперервною, але похідна тут не існує. Дійсно, ця функція не є елементарною, оскільки визначається двома різними аналітичними виразами:
. У точці
ця функція неперервна: границя функції при
існує:
. Обидві односторонні границі існують і є рівними, отже,
і дорівнює значенню функції в точці
. У той же час похідна в цій точці не існує. Дійсно, будемо шукати похідну. Прирощення аргументу в точці
дорівнює:
, прирощення функції
і становитиме
при
та
при
. Таким чином, лівостороння границя відношення прирощень,
, а правостороння
і вони не рівні, отже, границя не існує, тобто в цій точці похідна не існує. Це можна побачити на графіку функції:
Усі січні, які будуються зліва від , співпадають з графіком функції
, а справа з графіком
, тобто граничного положення січних не існує.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 332 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!