Властивості функцій, неперервних на інтервалі

Теорема 3.26. Функція, визначена на відрізку та неперервна на інтервалі , є обмеженою на цьому відрізку і досягає своїх найменшого та найбільшого значень.

Покажемо зміст теореми на графіку:

Зауваження. Функція, визначена на відрізку , не може бути неперервною на його кінцях, оскільки, наприклад, у точці не існує лівостороння границя (функція не визначена зліва від цієї точки), тому не існує границя функції в цій точці, тобто не виконується умова неперервності. Аналогічна ситуація в точці .

Теорема 3.27. Якщо функція, визначена на відрізку та неперервна на інтервалі , має найменшим значенням , а найбільшим тоді для будь-якого числа існує точка , така, що .

Покажемо зміст теореми на графіку:

Теорема 3.28. Якщо функція, визначена на відрізку та неперервна на інтервалі , набуває на кінцях відрізка значення різних знаків, то існує, принаймні, одна точка , така, що .

Покажемо зміст теореми на графіку:

Запитання та завдання для самоперевірки

1. Розглядається функція . Її границя при дорівнює 3. Використовуючи означення, для знайдіть значення .

2. Для функції у точці 2 границею є число 4. Знайдіть у загальному вигляді залежність: .

3. Доведіть теорему про границю суми двох функцій, скориставшись означенням границі за Гейне та теоремою 3.7.

4. Доведіть неперервність деяких елементарних функцій у всій області їх визначення:

, , .

5. Чи є функція неперервною у точці ?

6. Доведіть, що рівняння: має хоча б один корінь, який належить відрізку .