Неперервність функцій

Означення 3.33. Функція , визначена у деякому околі точки , називається неперервною в точці , якщо існує її границя при , і вона дорівнює значенню функції в цій точці:

.

Означення 3.34. Функція називається неперервною на деякому числовому проміжку, якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Існують ще два означення неперервності функції в точці, причому доведена їх еквівалентність.

Означення 3.35. Функція , визначена в деякому околі точки , називається неперервною в точці , якщо границя функції в тій точці дорівнює значенню функції від границі аргументу:

.

Для того, щоб навести ще одне означення, потрібно ввести поняття прирощення.

Розглянемо функцію , визначену в деякому околі точки . Візьмемо точку , яка належить даному околу. Позначимо різницю .

Ця величина називається прирощенням аргументу. Різницю значень функції в цих точках позначимо . Ця величина називається прирощенням функції, що відповідає прирощенню аргументу .

Зрозуміло, що при , , тобто є нескінченно малою величиною.

Означення 3.36. Функція , визначена в деякому околі точки , називається неперервною в точці , якщо нескінченно малому прирощенню аргументу відповідає нескінченно мале прирощення функції.