Диференціальне числення

Розглянемо функцію , визначену в деякому околі точки : . Надамо аргументу прирощення такого, що точка належить .

Різниця значень функції в точках та утворює прирощення функції:

.

Означення 4.1. Похідною функції у точці називається границя відношення прирощення функції в точці до прирощення аргументу при прямуванні останнього до нуля. Позначається вона так:

Границя функції − це число, отже, похідна функції в точці також число.

Якщо функція має похідну в усіх точках деякого числового проміжку, то оскільки границя функції єдина, на цьому проміжку утворюється відображення точок проміжку на множину значень похідних у точках, яке є функцією. Ця функція також називається похідною.

Означення 4.2. Якщо функція має похідну в точці, то вона називається такою, що має диференціал.

Означення 4.3. Якщо функція має похідну в усіх точках деякого числового проміжку, то вона називається такою, що має диференціал на проміжку.

Знайдемо похідну функції в деякій точці, що належить області визначення , за означенням.

Задамо аргументу прирощення . Значення функції в точці : , значення функції в точці : .

Прирощення функції дорівнює: . Знайдемо границю відношення: (добуток не залежить від , отже, у процесі є сталою величиною, а границя ).

Точка була довільна, отже, похідна функції існує , похідна функція має вигляд: .

З означення випливає, що похідна показує, на скільки зростає функція при нескінченно малому зростанні аргументу. Якщо функція й аргумент мають який зміст (механічний, економічний, геометричний, тощо), то похідна функції буде мати відповідний зміст.