Точки розриву функції

Означення 3.42. Точка така, що функція , визначена в деякому околі цієї точки, крім, можливо, самої точки , називається точкою розриву, якщо не виконується означення неперервності: .

Зауважимо, що означення передбачає, що точка є граничною точкою області визначення функції.

Залежно від того, як саме не виконується дана умова, розрізняють декілька типів точок розриву.

Якщо границя функції існує, але не дорівнює значенню функції в точці: , або значення функції в точці не існує, то така точка називається точкою усувного розриву.

Назва пов’язана з тим, що довизначивши функцію значенням границі, , ми досягнемо неперервності.

Якщо границя функції не існує, то точка називається точкою неусувного розриву.

Можливі три варіанти поведінки функції в околі точки, при яких границя не існує.

Існують односторонні границі, але вони не рівні між собою: . Така точка називається точкою неусувного розриву першого роду (стрибок).

Одна або обидві односторонні границі не існують тому, що функція при є нескінченно великою. Така точка називається точкою неусувного розриву другого роду.

Крім того, неусувний розривбуде у випадку, коли одна або обидві односторонні границі не існують, при тому, що функція є обмеженою у деякому околі точки .

( У нашому курсі ми не будемо розглядати цей тип точок розриву).

Розглянемо приклад.

.

Область визначення: . Дана функція не є елементарною, оскільки задається різними аналітичними виразами, кожний із яких визначає елементарну функцію, отже, на кожному з інтервалів функція неперервна. Точка - гранична точка області визначення, функція в ній невизначена, не існує, отже, - точка розриву. Крім того, функція може мати розриви в точках «стику» різних аналітичних виразів: . Для встановлення, чи це точки розриву і, можливо, їх класифікації дослідимо границі функцій у цих точках.

1. Точка . Знайдемо границю :

.

Границя існує, отже, це точка усувного розриву і, якщо довизначити , то в цій точці функція буде неперервною.

2. Точка . Значення функції в цій точці існує: . Знайдемо границю . Зліва та справа від цієї точки функція задається різними аналітичними виразами, отже, нам необхідно розглянути односторонні границі. , тобто границя не існує, функція є нескінченно великою. Незважаючи на існування чи не існування правосторонньої границі, точка є точкою неусувного розриву другого роду. Для побудови ж графіка функції знайдемо правосторонню границю:

.

3. Точка . Значення функції в цій точці існує: . Тут також треба шукати односторонні границі.

. .

Обидві границі існують, але не є рівними, отже, це точка неусувного розриву першого роду – «стрибок».

3. Точка . Знайдемо односторонні границі: . . Односторонні границі існують і є рівними, отже, існує границя: . Значення функції в цій точці: дорівнює границі, отже, функція є неперервною.

Зробимо ескіз графіка.

Приклад. Дослідити неперервність функції

,

та визначити, при якому значенні параметра а функція неперервна в точці .

Область визначення: . Функція не є елементарною, тому що задана трьома аналітичними виразами. У кожному з трьох проміжків функція є елементарною, отже, на кожному з інтервалів функція є неперервною. У першому проміжку: . Це дробово-раціональна функція, яка визначена всюди, крім точки .

У другому проміжку функція має вигляд: . Це поліном, квадратична функція, яка визначена на всій області визначення, тому вона неперервна.

У третьому проміжку: . Це дробово-раціональна функція, яка визначена всюди, крім точки .

Крім цих точок, точками розриву можуть бути точки «стику» функцій: .

Розглянемо точку . Оскільки вона є граничною точкою області визначення, і не існує, то це точка розриву. Для класифікації даної точки розриву спробуємо знайти границю функції при : . Таким чином, при функція є нескінченно великою, отже, точка неусувного розриву другого роду. Для побудови графіка розглянемо односторонні границі:

Лівостороння: , а правостороння:

Точка . Знайдемо значення функції в точці: .

Зліва та справа від цієї точки функція задається різними аналітичними виразами, отже, нам необхідно розглянути односторонні границі.

Для того, щоб функція була неперервною в цій точці, необхідно, щоб односторонні границі були рівними, отже, повинна виконуватися рівність: , і в такому випадку границя буде рівною значенню функції в точці. При функція неперервна в точці .

Точка . Знайдемо значення функції в цій точці: .

Знайдемо односторонні границі:

Оскільки обидві границі існують, але не є рівними, то це точка неусувного розриву першого роду – “стрибок”.

Точка . Значення функції в цій точці не існує. Знайдемо границю функції в цій точці:

Границя існує, отже, це точка усувного розриву. Якщо довизначати , то в цій точці функція буде неперервною.

Зробимо ескіз графіка:

Запитання та завдання для самоперевірки

1. Чи є точка точкою розриву функції , якщо вона визначена при: а) , б) , в) ?

2. Чи є точка точкою розриву функції: , якщо вона визначена при: а) , б) ?

3. При якому значенні параметра функція:

буде неперервною?

4. Дослідіть неперервніть та класифікуйте точки розриву функції: