Геометричний зміст диференціалу

Розглянемо функцію, яка має похідну, а значить і дотичну в точці .

З рисунка випливає, що диференціал показує, наскільки зростає ордината дотичної при прирощені аргументу.

Оскільки похідна лінійної функції є сталою, то диференціал лінійної функції дорівнює прирощенню функції (дотична до прямої співпадає з самою прямою). Зокрема, аргумент можна вважати лінійною функцією, тому , і диференціал функції набуває вигляду:

.

Виходячи з цього співвідношення, похідну можна позначати так:

.

У випадку складеної функції диференціал зберігає свою форму. Дійсно, нехай дана функція , її похідна: , а диференціал: . Добуток , отже, . Ця властивість називається інваріантністю форми диференціала.

Приклад. Знайти диференціал функції: .

За означенням . Спочатку знайдемо похідну:

.

Відповідно, диференціал має вигляд:

.

Запитання та завдання для самоперевірки

Для функцій із попереднього розділу:

та ,

вкажіть точки, у яких функція неперервна, але не має похідної.

1. Нехай функція визначена при . У яких точках цього

проміжку не існує похідна?

3. Знайдіть похідні та диференціали функцій:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) .