Арифметичні теореми про похідну

Теорема 4.2. Якщо функції мають похідні в точці , то існує похідна суми цих функцій, яка дорівнює сумі похідних:

.

Доведення. Розглянемо функцію .

Знайдемо прирощення цієї функції в точці : . За означенням похідної:

.

Теорема 4.3. Якщо функції мають похідні в точці , то існує похідна їх добутку, яка дорівнює сумі добутків похідної першої функції на другу та похідній другої функції на першу:

.

Доведення. Розглянемо функцію . Знайдемо прирощення цієї функції в точці : . Додамо і віднімемо вираз , отримаємо: . За означенням похідної:

.

Функція має похідну в точці , отже, вона неперервна в цій точці, тому . Функція є сталою при , отже,

.

Аналогічно, другий доданок дорівнює . Остаточно, отримаємо:

Теорема 4.4. Похідна сталої величини дорівнює нулю:

.

Доведення. Розглянемо функцію . Її прирощення . Тоді:

.

Наслідок з теорем 4.3. та 4.4: Сталу величину можна виносити за знак похідної:

.

Теорема 4.5. Якщо функції мають похідні в точці і функція в деякому околі точки , то в цій точці існує похідна частки , яка дорівнює:

.

Доведення. Розглянемо функцію . Прирощення цієї функції дорівнює: . Віднімемо і додамо в чисельнику вираз , отримаємо: ,

Або . Границя відношення буде така: .

Теорема 4.6. Якщо функція строго монотонна в деякому околі точки і має в тій точці похідну, яка не дорівнює нулю, то існує обернена їй функція , яка визначена в деякому околі точки та її похідна дорівнює:

.

Теорема 4.7. Якщо функція має похідну в точці : , а функція має похідну в точці : , то складена функція має похідну в точці , яка дорівнює:

.

Вище були знайдені похідні сталої та функції . Доведемо формули обчислення похідних ще декількох елементарних функцій.

1. Логарифмічна функція: . Розглянемо довільну точку , яка належить області визначення функції. Задамо пророщення аргументу таке, що точка також належить області визначення. Прирощення функції має вигляд: . Тоді похідна в цій точці буде дорівнювати: . Помножимо і поділимо дріб на та скористаємося властивостями логарифма:

.

У процесі , величина є сталою і її можна винести за знак границі. Функція неперервна, отже, символи функції та границі комутативні, тому: .

Границя, яку нам треба обчислити, - друга важлива границя, отже, . Остаточно, отримаємо:

.

Тепер можна знайти похідну функції :

.

2. Показникова функція: . Прологарифмуємо обидві частини: , або , та знайдемо похідні лівої та правої частини, ураховуючи, що в лівій частині складена функція: , або . Звідси: , або .

3. Степенева функція . Прологарифмуємо обидві частини: та знайдемо похідні лівої та правої частин, ураховуючи, що в лівій частині складена функція: , або . Звідси: , або .

4. Тригонометричні функції: . Знайдемо прирощення функції :

та обчислимо границю відношення

.

Перший співмножник – перша важлива границя, яка дорівнює одиниці, а другий – границя неперервної функції, отже, вона дорівнює значенню функції в точці. Таким чином, .

Для знаходження похідної функції , скористаємося формулами зведення, за якими . Маємо:

.

Похідні функцій легко знайти, згадавши, що , і скориставшись формулою похідної дробу.

Наведемо формулювання ще двох теорем.

Теорема 4.8. (Теорема Лагранжа). Якщо функція визначена на відрізку і має похідну в інтервалі , то існує точка така, що

.

Геометрична ілюстрація теореми. Якщо з’єднати точки та відрізком, то існує точка , дотична в якій паралельна цьому відрізку.

Теорема 4.8. (Правило Лопіталя). Якщо при або функції та одночасно є нескінченно великими, або нескінченно малими, то границя відношення їх частки дорівнює границі відношення їх похідних:

і .

Ця теорема застосовується при розкритті деяких невизначеностей.

Приклад.

Таблиця похідних елементарних функцій

(В усіх формулах вважається, що функції є складеними, причому внутрішня функція має похідну в кожній точці деякого числового проміжку).

1.	6.
2.	7.
2а.	8.
3.	9.
3а.	10.
4.	11.
5.

Приклад. Знайти похідну функції: .