Приклад 15. Знайти величину найбільшої швидкості зміни функції: в точці ;

Знайти величину найбільшої швидкості зміни функції: в точці ;

Розв’язання

Знайдемо частинні похідні ,

та довжину вектора

7. Частинні похідні вищих порядків

Як і для функції однієї змінної, коли перші частинні похідні є неперервними функціями в області визначення, тоді від них можна знаходити нові частинні похідні, які будуть похідними другого порядку функції .

Означення 24. Частинну похідну першого порядку по змінній від частинної похідної першого порядку функції по змінній називають частинною похідною другого порядку функції по змінним та і позначають:

або при x y, або при x y.

У випадку функції двох змінних маємо такі похідні другого порядку:

Якщо мішані частинні похідні другого порядку неперервні в точці , то справедлива рівність:

.

Аналогічно визначають похідні порядку вище другого. Так ; і т. д.

Частинні похідні першого та другого порядку використовуються в економічній теорії для дослідження моделей споживання, виробничих функцій та для розв’язування задач оптимізації виробництва.