Приклад 4

Знайти лінії рівня функції .

Розв’язання

За означеннями , або , , що є рівнянням кола з радіусом і центром в точці . Якщо тепер надати послідовно різні значення c =1, 4, 9,..., то одержимо сукупність кіл з радіусами 1, , ,..., які прямують до нуля, коли . Таким чином, на площині xOy лінії рівня – це сукупність концентричних кіл, які стягуються до початку координат.

Означення 11. Графіком функції двох змінних називається множина точок тривимірного простору

, (13)

яка являє собою деяку поверхню в декартовій системі координат Oxyz. Для побудови графіка функції корисно розглянути функції та , які є перерізами поверхні площинами ; , паралельними координатним площинам Oxz та Oyz.

Приклад 5

Побудувати графік функції Кобба-Дугласа при

Розв’язання

Для значення функції – . В перерізах площинами, що проходять через вісь Oz та лінії ; n =const в площині xOy одержимо прямі лінії з кутовими коефіцієнтами . Для , , , це прямі (див. Рис. 2).

Проведемо тепер перерізи поверхні площинами паралельними площині , тобто побудуємо лінії рівня .

Переріз у вертикальній площині паралельний осі Oz, що проходить в площині xOy через лінію дає направляючу лінію . Графік функції Кобба-Дугласа є конічна поверхня, зображена на Рис. 2.

3. Границя та неперервність функцій багатьох змінних

3.1. Границя функцій багатьох змінних

Розглянемо функцію , визначену на множині . Нехай точка цього простору, і в будь-якому -околі її є хоча б одна точка , відмінна від .

Означення 12. Число називається границею функції в точці (границею при ), якщо для будь-якої послідовності точок , яка збігається до , відповідна послідовність значень функції збігається до А.

Для запису цього факту використовується символіка:

;

, або .

Нагадаємо, що через M позначаємо точку з координатами (x, y), тобто .

Сформулюємо ще одне означення границі.

Означення 13. Число A називається границею функції при , якщо для будь якого, як завгодно малого числа знайдеться таке число що для всіх точок , відмінних від точки і віддалених від точки на відстань меншу , тобто , виконується нерівність . Границя позначається так:

.

Означення 14. Число А називається границею функції при , якщо для будь-якого числа , можна знайти так число , що для всіх точок , які задовольняють умову , виконується нерівність . Записуємо цей факт так:

.

Для функції багатьох змінних, які мають границю в точці, справедлива теорема про арифметичні операції над ними.

Теорема 2

Нехай функції , мають в точці границі A та B відповідно. Тоді функції , та (при ) мають границі в точці , , – відповідно.

Приклад 7

Знайти границю

Розв’язання

Позначимо Умова рівно-сильна умові Тому

Приклад 8

Знайти границю .

Розв’язання

Зрозуміло, що в точці функція не визначена. Знайдемо тепер границю, коли точка . Нагадаємо, що умова , рівносильна умові . Нехай вздовж прямої , тоді:

,

тобто границя дорівнює нулю.

Нехай тепер вздовж параболи , тоді одержимо:

.

Звідси випливає, що при число відмінне від нуля.

Таким чином, границя буде різним числом, в залежності від способу прямування точок М до 0. Отже, дана границя не існує.

2.2. Неперервність функції багатьох змінних

Означення 15. Функція називається неперервною в точці , якщо має місце рівність або при довільному прямуванні . В протилежному випадку кажуть, що функція має розрив у точці .

Означення 16. Функція називається неперервною на множині Х, якщо вона неперервна в будь-якій точці цієї множини.

Введемо тепер поняття повного приросту функції багатьох змінних.

Означення 17. Повним приростом функції в точці називається число, яке визначається за формулою , де М довільна точка області визначення Х.

Якщо ввести відповідні прирости змінних , то можемо переписати приріст у вигляді .

Останнє представлення зручне для визначення неперервності функції в точці через прирости (на мові приростів).

Означення 18. Функція називається неперервною в точці , якщо її повний приріст в цій точці є нескінченно малою величиною при , тобто

Якщо функція неперервна в області Х та на її границі , то кажуть, що вона неперервна в замкненій області .

Для функцій багатьох змінних справедливі такі важливі теореми.