Приклади 1- 3

Знайти область визначення функцій.

1. .

Розв’язання

а) Область визначення задається умовою: або , яка визначає собою круг радіуса 4 з центром в точці з координатами . Тому ;

2. .

Розв’язання

Областю визначення функції трьох змінних буде множина точок Рівність є рівнянням сфери радіуса R з центром у точці . Отже, одержане вище рівняння означає, що областю визначення функції u буде куля радіуса 3 з центром у точці P (-5,4,1).

Отже, ;

3. .

Розв’язання

Область визначення – це множина точок для яких , тобто . Геометрично це координатна площина за виключенням координатних прямих.

Зауваження. Оскільки всі поняття та теореми для n =2 дозволяють використовувати наглядну геометричну інтерпретацію i легко переносяться на випадок n >2, то надалі розгляд будемо проводити для n =2. Тоді для функції двох змінних, яку будемо позначати , (8)

область визначення X буде підмножиною координатної площини xOy, тобто .

Означення 10.Лінією рівня С функції у площині xOy називається сукупність всіх пар (x, y) таких, що .

Таким чином, у всіх точках (x, y), які належать лінії рівня q частинне значення функції одне і теж число q. Множина всіх ліній рівня називається картою ліній рівня. Лінії рівнів широко використовуються у топографії, геодезії, картографії та економіці (криві байдужості).