![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Знайти частинні похідні функції .
Розв’язання
При фіксованому
а при фіксованому
–
4. Диференціал функції та його використання
Узагальнимо визначення диференціалу функції для функції двох змінних. Нехай функція в області визначення Х неперервна і має частинні похідні
. Візьмемо в Х довільну точку
і надамо аргументам
та
прирости
та
відповідно.
Тоді повний приріст (14) можна записати таким чином
де у двох квадратних дужках записано приріст функції тільки відносно одного аргументу х та
. Використовуючи формулу Лагранжа до кожної дужки, одержимо:
(17)
де .
Якщо частинні похідні першого порядку неперервні в точці , то (17) можна представити у вигляді:
, (18)
де та
нескінченно малі при
.
Означення 20. Диференціаломфункції називається головна лінійна відносно та
частина повного приросту функції
, тобто
. (19)
Враховуючи, що для та
згідно (19)
та
, формулу диференціалу (19) можна записати у вигляді:
(20)
або
.
Означення 21. Функція називається диференційованою в точці
, якщо її повний приріст може бути подано у вигляді:
,
де .
Можна довести, що якщо повний приріст функції геометрично є приріст аплікати поверхні
, то диференціал функції
є приріст аплікати дотичної площини до поверхні
в даній точці, коли змінні
та
отримують приріст
та
.
Зауважимо, що для функції однієї змінної існування скінченої похідної
і представлення приросту у виді
є рівнозначні твердження. Для функцій кількох змінних існування частинних похідних є необхідна умова для диференційованості функції
. Достатні умови диференційованості сформульовані у наступній теоремі.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 294 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!