Приклад 12. Знайти частинні похідні функції

Знайти частинні похідні функції .

Розв’язання

При фіксованому а при фіксованому –

4. Диференціал функції та його використання

Узагальнимо визначення диференціалу функції для функції двох змінних. Нехай функція в області визначення Х неперервна і має частинні похідні . Візьмемо в Х довільну точку і надамо аргументам та прирости та відповідно.

Тоді повний приріст (14) можна записати таким чином

де у двох квадратних дужках записано приріст функції тільки відносно одного аргументу х та . Використовуючи формулу Лагранжа до кожної дужки, одержимо:

(17)

де .

Якщо частинні похідні першого порядку неперервні в точці , то (17) можна представити у вигляді:

, (18)

де та нескінченно малі при .

Означення 20. Диференціаломфункції називається головна лінійна відносно та частина повного приросту функції , тобто

. (19)

Враховуючи, що для та згідно (19) та , формулу диференціалу (19) можна записати у вигляді:

(20)

або

.

Означення 21. Функція називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст може бути подано у вигляді:

,

де .

Можна довести, що якщо повний приріст функції геометрично є приріст аплікати поверхні , то диференціал функції є приріст аплікати дотичної площини до поверхні в даній точці, коли змінні та отримують приріст та .

Зауважимо, що для функції однієї змінної існування скінченої похідної і представлення приросту у виді є рівнозначні твердження. Для функцій кількох змінних існування частинних похідних є необхідна умова для диференційованості функції . Достатні умови диференційованості сформульовані у наступній теоремі.