Теорема 5

Якщо частинні похідні функції існують в околі точки і неперервні в самій точці , то функція , диференційована в цій точці.

Приклад 13

Знайти диференціал функції:

Розв’язання

Знайдемо частинні похідні

,

Як і для функції однієї змінної співвідношення (18) дозволяє знаходити наближене значення функції двох змінних. Дійсно, оскільки

тому в силу (14)

.

(21)

Формула (21) і дозволяє знаходити наближене значення функції двох змінних.

Зауваження. Формула (21) показує, що заміна повного приросту функції її повним диференціалом привела до заміни функції в околі точки лінійною функцією відносно та , оскільки Геометрично це означає, що частина поверхні замінюється відповідною частиною дотичної площини до поверхні в точці .

Приклад 14

Знайти наближене значення функції:

в точці .

Розв’язання

Тут Послідовно обчислимо:

За формулою (21), враховуючи, що дістанемо:

5. Диференціювання неявних функцій

Якщо рівняння , де – диференційована функція змінних x і y, визначає y як функцію від x, то похідну цієї неявно заданої функції (за умовою, що ) можна знайти за формулою . Похідні вищих порядків знаходяться послідовним диференціюванням отриманої формули.

Аналогічно, якщо рівняння , де – диференційована функція змінних x, y, z, визначає z як функцію незалежних змінних x та y і , то частинні похідні цієї функції можна знаходити за формулами:

6. Похідна за напрямом. Градієнт

Нехай функція визначена в деякому околі точки , a – напрямок, що задається одиничним вектором , де - кути, які утворює вектор з осями координат.

Якщо точка перейде по напряму в точку , то функція одержить приріст у напрямі , тобто . (22)

Оскільки то очевидно (див. Рис.3), що , .

Рис.3.

Тому приріст функції у даному напрямі перепишемо у вигляді:

.

Означення 22. Похідною за напрямом функції двох змінних називається границя відношення приросту функції в цьому напрямі до величини переміщення при прямуванні її до нуля, тобто . (23)

Похідна – характеризує швидкість зміни функції в напрямі .

Зрозуміло, що частинні похідні та є похідні за напрямами паралельними осям Ox та Оy відповідно.

Якщо використати теорему Лагранжа, то неважко показати, що (24)

Означення 23. Градієнтом функції називаєтьсявектор з координатами .

Враховуючи, що , праву частину (24) можемо записати увигляді скалярного добутку:

. (25)

Звідси випливає, що похідна за напрямом є скалярний добуток градієнта і одиничного вектора, який задає напрям .

Скалярний добуток двох векторів (25) максимальний, якщо вони мають однаковий напрям. Тому градієнт функції в даній точці характеризує напрям максимальної швидкості зміни функції в цій точці. Градієнт записують через його координати , а його довжина дає величину максимальної швидкості зміни функції в точці .