Приклади 17-18

Дослідити на екстремум функції.

17.

Розв’язання

Знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:

.

Звідки Оскільки то в стаціонарній точці буде досягатись мінімум функції, як це видно із рис. 5.

Рис. 5

18.

Розв’язання

Із необхідних умов екстремуму знайдемо критичну точку . Але критична точка не є ні точкою максимуму ні точкою мінімуму, тому що в точці функція набуває вигляду а при і в околі точки поверхня сильно відрізняється за своїм виглядом від “шапочки” та перевернутої “шапочки”. У критичній точці ніякого екстремуму немає, ця точка називається сідловою, а поверхня функції – сідловою поверхнею. Такі сідлові точки є двовимірними аналогами точок перегину функції однієї змінної і для того, щоб відділити їх від точок екстремуму теж потрібні достатні умови екстремуму. Д остатні умови екстремуму функцій двох змінних сформулюємо в термінах других частинних похідних.