Передмова. Розповсюдження і тиражування без офіційного дозволу ІЕНТ і авторів заборонено

I курс, 2 семестр.

Кременчук

Розповсюдження і тиражування без офіційного дозволу ІЕНТ і авторів заборонено.

Методичні рекомендації до самостійного вивчення вищої математики на економічному факультеті

(Розділ VІІІ. Функції багатьох змінних. I курс, 2 семестр).

Укладачі:

Семенов Валерій Олегович, професор,

Тристан Віктор Миколайович, старший викладач.

Рецензент:

Зінов’єв А. С., кандидат фізико-математичних наук, професор.

Комп’ютерна верстка: Тристан А.В.

Відповідальний за випуск: професор Семенов В.О.

Методичні рекомендації розглянуті та рекомендовані до видання на засіданні кафедри прикладної математики та математичного моделювання від 30 серпня 2003р., протокол № 1.

Схвалено методичною радою ІЕНТ “_____”_______________р.,

протокол №______.

Затверджено Вченою радою ІЕНТ “_____”_______________р.,

протокол №______.

Наклад 200 примірників

Передмова

Методичні рекомендації адресовані студентам економічного факультету, які навчаються за спеціальностями „Облік і аудит” і „Маркетинг” стаціонарно та заочно. Вони містять необхідний теоретичний матеріал і розв’язання типових задач VІІІ розділу курсу вищої математики „Функції багатьох змінних”, що вивчається в другому семестрі.

Мета методичних рекомендацій полягає у тому, щоб допомогти студентам засвоїти цей розділ курсу вищої математики та навчитися самостійно розв’язувати задачі.

Методичні рекомендації містять завдання для самостійної роботи, завдання контрольної роботи в 34 варіантах.

З метою самоконтролю за вивченням курсу до методичних рекомендацій внесено питання для підготовки до екзамену.

Методичні рекомендації містять список рекомендованої літератури.

І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Функції багатьох змінних ”

1. Поняття функції багатьох змінних.

1.1. Евклідовий простір.

1.2. Множини точок в .

1.3. Послідовності точок в .

1.4. Означення функції багатьох змінних.

1. Границя та неперервність функцій багатьох змінних.

2.1. Границя функцій багатьох змінних.

2.2. Неперервність функції багатьох змінних.

1. Частинні похідні функції багатьох змінних.
2. Диференціал функції та його використання.
3. Диференціювання неявних функцій.
4. Похідна за напрямом. Градієнт.
5. Частинні похідні вищих порядків.
6. Застосування частинних похідних в економічних задачах.
7. Екстремум функції багатьох змінних.

9.1. Локальний екстремум функції багатьох змінних.

9.2. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області.

ІІ. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач

1. Поняття функції багатьох змінних

1.1. Евклідовий простір ()

Означення 1. Координатна площина називається евклідовою площиною, якщо відстань між будь-якими точками та визначена за формулою:

(1)

Аналогічно, евклідовий простір – це такий координатний простір, відстань між двома довільними точками якого та визначається за формулою:

(2)

Надалі кожну впорядковану сукупність будемо називати точкою цього простору і позначати однією буквою М. При цьому числа будемо називати координатами точки М і записувати: .

1.2. Множини точок в ().

Множини точок із () будемо позначати або .

Наведемо приклад таких множин. Нехай задана точка . Множина Х можливих точок, координати яких задовольняють нерівності:

(3)

(4)

називається кругом (кулею) радіуса з центром в точці і позначається .

Враховуючи (2) нерівності (3) – (4) можемо записати у вигляді:

(5)

У випадку, коли в (5) виконується строга нерівність , (6)

множина називається відкритим кругом (кулею) і позначається .

Означення 2. Відкриту множину будемо називати - околом, яку зображено на Рис. 1.

Означення 3. Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо для цієї точки існує деякий -окіл, всі точки якого належать .

Означення 4. Точка називається граничною точкою множини , якщо в будь-якому її -околу знаходяться, як точки які належать так і такі, які множині не належать.

Означення 5. Множина називається відкритою, якщо всі її точки внутрішні.

Означення 6. Множина називається замкненою, якщо всі граничні точки цієї множини належать їй. Вона позначається . Множина всіх граничних точок позначається . Отже .

1.3. Послідовності точок в ()

Нехай кожному числу ставиться у відповідність точка із . Пронумерований ряд точок називається послідовністю точок евклідового простору і позначається .

Означення 7. Послідовність точок називається збіжною до границі А, якщо для будь-якого можна вказати номер такий, що для всіх відповідні точки послідовності будуть знаходитись в - околі точки А, тобто .

Число А називається границею послідовності . Цей факт записують так:

або при .

Легко встановити, що для збіжних послідовностей справедлива теорема 1.

Теорема 1

Для того, щоб послідовність точок збігалась до точки необхідно і достатньо, щоб послідовності координат , збігались до відповідних координат , точки А, тобто

при ,

при .

1.4. Означення функції багатьох змінних

Означення 8. Якщо кожній точці за деяким законом ставиться у відповідність єдине число z із числової множини , то кажуть, що задана функція двох (трьох) змінних .

Наведемо також означення для функцій змінних. Аналогічно , через , позначимо координатний простір точок відстань між якими визначається за формулою:

, (7)

Означення 9. Нехай є n незалежних числових величин ..., із деякої множини X. Якщо кожному набору n змінних відповідає одне цілком певне значення змінної числової величини , то кажуть, що задана функція кількох змінних

.

Її позначають ще й так , де M=M (..., ) . Незалежні змінні ..., рівноправні і називаються аргументами, або незалежними змінними, -залежною змінною, а символ f – означає закон відповідності. Множина X називається областю визначення функції.

Очевидно, що це підмножина n -мірного простору . Границю області X також будемо позначати , тоді буде замкненою областю. Якщо функція визначена у області X і на її границі, то кажуть, що вона визначена в