Розглянемо ряд

(1)

членами якого є функції; задані на інтервалі . Щоб відповісти на питання, в якому розумінні частинна сума наближається до суми , розглянемо поняття про відхилення двох функцій.

Нехай дві функції, і , задані на одному і тому ж скінченому інтервалі . Рівномірним відхиленням їх одна від другої називається величина середнім інтегральним відхиленням функцій та називається величина Деколи користуються середнім квадратичним відхиленням: . Зустрічаються і інші види відхилень.

Говорять, що ряд (1) збігається на даному інтервалі до функції – суми ряду, якщо відхилення частинної суми від прямує до нуля при зростанні . При цьому ряд (1) збігається до суми рівномірно, якщо в середньому, якщо в середньому квадратичному, якщо Зауважимо, що коли, ряд (1) збігається рівномірно, то він збігається також в середньому та в середньому квадратичному, причому до тієї ж суми .

Вейєрштрасс довів, що коли всі , причому , то ряд (1) рівномірно збігається.

Сукупність тих значень , при яких функціональний ряд збігається, називається областю збіжності цього ряду.

Приклад №1. Функціональний ряд

збігається при , і його сума дорівнює . Отже,