З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах. Лінійним диференціальним рівнянням n – го порядкуназивається рівняння вигляду

Лінійним диференціальним рівнянням n – го порядку називається рівняння вигляду

(1)

причому р_і(х) f (x) – задані неперервні функції.

Зауважимо, що невідома функція та всі її похідні входять у це рівняння лінійно, тобто в першому степені.

Якщо у рівнянні (1) права частина - тотожний нуль, тобто то диференціальне рівняння

(2)

називається лінійним однорідним рівнянням, яке відповідає рівнянню (1).

Загальний розв’язок рівняння (2) має вигляд

(3)

де - довільні сталі, а - лінійно незалежні розв’язки рівняння (2).

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння є сумою якого-небудь його частинного розв’язку у^* та загального розв’язку відповідного однорідного рівняння :

.

Якщо відомий загальний розв'язок однорідного рівняння, то загальний розв'язок неоднорідного рівняння можна знайти методом варіації довільних сталих Лагранжа за допомогою квадратур.

Будемо шукати розв'язок неоднорідного рівняння у формі

де поки що невідомі функції від х. Відносно невідомих функцій отримуємо систему, складену з наступних рівнянь:

Розв’язавши цю систему, знайдемо функції

Інтегруючи, отримуємо :

де - довільні сталі.

Підставляючи знайдені таким чином функції у вираз (16), отримаємо загальний розв’язок неоднорідного рівняння (1).

Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду

(*)

де p і q – сталі числа. Знайдемо два лінійно незалежних розв’язки цього рівняння (а це, згідно з викладеним вище, дозволить записати його загальний розв’язок). Складемо характеристичне рівняння:

Можливі такі ситуації відносно його коренів:

1) і - дійсні, причому не рівні між собою числа ;

2) і - комплексні спряжені числа;

3) і - дійсні рівні числа

Спинимося на кожному із цих трьох випадків.

Корені характеристичного рівняння дійсні й різні: Загальний розв’язок рівняння (*) має вигляд

де c₁ і c₂ - довільні сталі.

Корені характеристичного рівняння – комплексно спряжені числа. Нехай Загальний розв’язок рівняння (*) у розглядуваному випадку має вигляд

де та - довільні сталі.

Корені характеристичного рівняння дійсні й рівні: Загальний інтеграл диференціального рівняння (*) у разі кратних коренів має вигляд