Властивості функціональних рядів

Відзначимо основні властивості рівномірно збіжних функціональних рядів.

1) Сума рівномірно збіжного ряду з неперервних функцій – неперервна функція.

Дійсно, якщо ,

то

.

Функція неперервна як сума скінченого числа неперервних функцій. при досить великих значеннях залишок буде як завгодно малий при – це випливає із рівномірної збіжності ряду. Отже, малому приросту відповідає як малий приріст , так і малий приріст . Значить, і вся сума зміниться мало, що і доводить її неперервність.

Зауважимо, що коли ряд (1) збігається рівномірно, то його сума може мати розриви лише в тих точках, в яких мали розриви доданки. Якщо ж ряд збігається в середньому, то його сума може мати і інші розриви, а також бути розривною, якщо всі члени ряду – неперервні.

2) Якщо ряд збігається рівномірно, то його можна почленно інтегрувати:

,

причому одержаний в результаті інтегрування ряд рівномірно збігається на інтервалі .

Дійсно,

.

3) Ряд із неперервних функцій, що рівномірно збігається, можна почленно диференціювати, якщо після цього одержується ряд, який збігається рівномірно:

Дійсно, нехай .

Інтегруючи почленно цей ряд на основі попередньої властивості, маємо:

.

Диференціюючи цю рівність по , знаходимо: . Властивість доведена.