Ряди по ортогональних функціях

Дамо означення ортогональних функцій. Дві дійсні функції та , задані на скінченому або нескінченному інтервалі , називаються ортогональними одна одній на цьому інтервалі, якщо (вважаємо, що функції та абсолютно інтегровані). система функцій називається ортогональною на деякому інтервалі, якщо кожні дві функції з цієї системи ортогональні одна одній на цьому інтервалі.

Приклад №1. Ортогональною є система функцій 1, на інтервалі . Це дійсно так, оскільки при виконуються умови:

при будь-яких – умова . Ортогональною на інтервалі є система функцій

.

Приклад №2. При ортогональні один одному многочлени Лежандра:

і т.д.

Вивчимо питання про ряди по ортогональних на проміжку функціях тобто про ряди виду де – числові коефіцієнти.

Якщо представлення (2) можливе для будь-якої скінченої функції , то система функцій називається повною.

Нехай жодна з функцій не дорівнює тотожно нулю. Знайдемо коефіцієнти в формулі (2). Для цього помножимо обидві частини цієї рівності на та про інтегруємо результат по інтервалу :

В силу ортогональності системи функцій майже всі інтеграли справа (крім одного) перетворюються в нуль. Звідси одержуємо формулу для коефіцієнтів

(3)