Степеневим рядом називають також функціональний ряд виду

де – деяке стале число. ввівши в змінної , одержимо ряд виду .

за степенями Х.

Має місце

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд збігається при деякому значенні , не рівному нулю, то він абсолютно збігається при будь-якому значенні , для якого якщо ряд розбігається при деякому значенні , то він розбігається при будь-якому , для якого

Дійсно, оскільки числовий ряд

збігається, то його загальний член при . Отже, існує таке додатне число М, що всі члени ряду (3) за абсолютною величиною менші М.

Представимо ряд (1) у формі

та поставимо йому у відповідність ряд з абсолютних величин його членів:

Останній ряд збігається, оскільки його члени не перевищують відповідних членів ряду

(4)

(при ряд (4) – це складна геометрична прогресія і, отже, збіжний ряд).

Якщо ж в деякій точці ряд (1) розбігається, то він розбігається також в будь-якій точці , що задовольняє умову , інакше це суперечило б щойно доведеному.