Інтервал і радіус збіжності

З теореми Абеля випливає, що коли є точкою збіжності ряду (1), то в інтервалі цей ряд абсолютно збігається. Якщо ж при ряд (1) розбігається, то він розбігається також за межами інтервалу . Отже, існує число таке, що при ряд (1) абсолютно збігається, а при – розбігається. Таким чином, областю збіжності степеневого ряду є інтервал з центром в початку координат.

Інтервалом збіжності степеневого ярду називається такий інтервал , що для будь-якої точки ,що лежить всередині цього інтервалу, ряд збігається, причому абсолютно, а для точок , що лежать поза ним, ряд розбігається (рис. 1). Число називається радіусом збіжності степеневого ряду. В деяких випадках може дорівнювати 0 чи .

Питання про збіжність степеневого ряду при розв’язується окремо для кожного конкретного ряду.

Приклад №1. Знайти область збіжності степеневого ряду

Розв'язування. Покладемо . Тоді .

Згідно з ознакою Даламбера, степеневий ряд абсолютно збігається при , а при – розбігається. Таким чином, радіус збіжності ряду . Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності. При ряд

розбігається, а при ряд

збігається. Таким чином, область збіжності степеневого ряду: .

Аналогічно для визначення інтервалу збіжності можна користуватися ознакою Коші.