Об’єм тіла обертання

За допомогою інтегралу можна знайти об’єм тіла, якщо відомі площі його паралельних перерізів.

Нехай відома площа будь-якого перерізу даного тіла площиною, перпендикулярною до осі (рис. 10).

Рис. 10. Об’єм тіла V

Припустимо, що – неперервна функція від . Проведемо площини через точки та виберемо точку в кожному з проміжків . Об’єм приблизно дорівнює об’єму циліндра, твірна якого паралельна осі , а направляюча – це контур перетину тіла площиною . Об’єм такого елементарного циліндра дорівнює . Сума об’ємів таких елементарних циліндрів – це інтегральна сума для неперервної функції . Перейшовши до границі при , одержимо формулу для знаходження об’єму тіла:

.

Площа перерізу , зокрема відома для тіла обертання, утвореного обертанням навколо осі неперервної кривої . (рис. 9).

Рис. 11. тіло обертання навколо осі

Будь-який переріз цього тіла – це круг радіуса . площа такого перерізу , отже, об’єм тіла, згідно з доведеною формулою, визначається так:

.