![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Предел интегральной суммы для функции на отрезке [a,b] при
(при max
) называется определенным интегралом от функции
на отрезке [a,b] и обозначается:
=
(9.1)
Функция в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a,b].
Из определения (9.1) легко вытекают следующие его свойства:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Важное значение также имеет теорема о среднем значении, которую мы приведем без доказательства.
Теорема 9.1
Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке, причем обязательно найдется такая точка
[a,b], что будет справедливо соотношение:
(9.2)
Геометрически утверждение теоремы 9.1 означает, что площадь криволинейной фигуры (рис.9.1) будет равна площади прямоугольника с длиной основания
и высотой, равной значению
в некоторой точке
[a,b].
Очевидно, что определение 9.1 не дает простого эффективного правила для вычисления определенного интеграла. Такое правило дает
Теорема 9.2
Пусть функция непрерывна не некотором интервале, включающем отрезок [a,b] и
- любая ее производная. Тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница:
(9.3)
Доказательство.
Возьмем некоторую точку и рассмотрим интеграл
. Очевидно, значение этого интеграла зависит от выбора точки
, поэтому мы имеет некоторую функцию
, определенную на отрезке [a,b]. Дадим аргументу
приращение
и рассмотрим соответствующее приращение функции
. Так как по свойству е)
, то
. Далее, поскольку функция
непрерывна на отрезке [a,b], то по теореме 9.1 будем иметь
Тогда
и перейдя в этом соотношении к пределу при
мы получим,
=
. Это означает, что производная от функции
в любой точке
[a,b] совпадает со значением функции
, то есть
- одна из первообразных для функции
на отрезке [a,b]. Пусть
- любая первообразная для функции
, тогда
, то есть
для любого
[a,b]. Если взять значение
, то получим
взять значение
, то получим
, что и требовалось доказать.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 203 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!