Определение 9.1

Предел интегральной суммы для функции на отрезке [a,b] при (при max ) называется определенным интегралом от функции на отрезке [a,b] и обозначается:

= (9.1)

Функция в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a,b].

Из определения (9.1) легко вытекают следующие его свойства:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Важное значение также имеет теорема о среднем значении, которую мы приведем без доказательства.

Теорема 9.1

Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке, причем обязательно найдется такая точка [a,b], что будет справедливо соотношение:

(9.2)

Геометрически утверждение теоремы 9.1 означает, что площадь криволинейной фигуры (рис.9.1) будет равна площади прямоугольника с длиной основания и высотой, равной значению в некоторой точке [a,b].

Очевидно, что определение 9.1 не дает простого эффективного правила для вычисления определенного интеграла. Такое правило дает

Теорема 9.2

Пусть функция непрерывна не некотором интервале, включающем отрезок [a,b] и - любая ее производная. Тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница:

(9.3)

Доказательство.

Возьмем некоторую точку и рассмотрим интеграл . Очевидно, значение этого интеграла зависит от выбора точки , поэтому мы имеет некоторую функцию , определенную на отрезке [a,b]. Дадим аргументу приращение и рассмотрим соответствующее приращение функции . Так как по свойству е) , то . Далее, поскольку функция непрерывна на отрезке [a,b], то по теореме 9.1 будем иметь Тогда и перейдя в этом соотношении к пределу при мы получим, = . Это означает, что производная от функции в любой точке [a,b] совпадает со значением функции , то есть - одна из первообразных для функции на отрезке [a,b]. Пусть - любая первообразная для функции , тогда , то есть для любого [a,b]. Если взять значение , то получим взять значение , то получим , что и требовалось доказать.