Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Предел интегральной суммы для функции на отрезке [a,b] при (при max ) называется определенным интегралом от функции на отрезке [a,b] и обозначается:
= (9.1)
Функция в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a,b].
Из определения (9.1) легко вытекают следующие его свойства:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Важное значение также имеет теорема о среднем значении, которую мы приведем без доказательства.
Теорема 9.1
Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке, причем обязательно найдется такая точка [a,b], что будет справедливо соотношение:
(9.2)
Геометрически утверждение теоремы 9.1 означает, что площадь криволинейной фигуры (рис.9.1) будет равна площади прямоугольника с длиной основания и высотой, равной значению в некоторой точке [a,b].
Очевидно, что определение 9.1 не дает простого эффективного правила для вычисления определенного интеграла. Такое правило дает
Теорема 9.2
Пусть функция непрерывна не некотором интервале, включающем отрезок [a,b] и - любая ее производная. Тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница:
(9.3)
Доказательство.
Возьмем некоторую точку и рассмотрим интеграл . Очевидно, значение этого интеграла зависит от выбора точки , поэтому мы имеет некоторую функцию , определенную на отрезке [a,b]. Дадим аргументу приращение и рассмотрим соответствующее приращение функции . Так как по свойству е) , то . Далее, поскольку функция непрерывна на отрезке [a,b], то по теореме 9.1 будем иметь Тогда и перейдя в этом соотношении к пределу при мы получим, = . Это означает, что производная от функции в любой точке [a,b] совпадает со значением функции , то есть - одна из первообразных для функции на отрезке [a,b]. Пусть - любая первообразная для функции , тогда , то есть для любого [a,b]. Если взять значение , то получим взять значение , то получим , что и требовалось доказать.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 188 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!